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La sezione principale di questo articolo potrebbe essere troppo breve per riassumere adeguatamente i punti chiave. Si prega di considerare espandendo il piombo per fornire una panoramica accessibile di tutti gli aspetti importanti di questo articolo. (Maggio 2019)
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poligono Regolare
{10}, t{5}
Diedro (D10), ordine 2×10
144°
Convesso, ciclico, equilatero, isogonal, isotoxal
In geometria, un decagon (dal greco δέκα déka e γωνία gonía, “dieci angoli”) è un dieci lati del poligono o 10-gon. La somma totale degli angoli interni di un decagono semplice è 1440°.
Un decagono regolare auto-intersecante è noto come decagramma.
Decagono regolare
Un decagono regolare ha tutti i lati di uguale lunghezza e ogni angolo interno sarà sempre uguale a 144°. Il suo simbolo Schläfli è {10} e può anche essere costruito come un pentagono troncato, t {5}, un decagono quasiregular alternando due tipi di bordi.
Area
L’area di un decagono regolare di lato a è dato da:
A = 5 2 2 lettino ( π 10 ) = 5 2 2 5 + 2 5 ≃ 7.694208843 2 {\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,un^{2}}
In termini di apothem r (vedere anche figura inscritta), la zona è:
A = 10 tan ( π 10 ) r 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}}
In termini di circumradius R, l’area è:
A = 5 sin ( π 5 ) R 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃ 2.938926261 R 2 {\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}}
Una formula alternativa è: A = 2.5 d {\displaystyle A=2.5 da} 
d = 2 ( cos 3 π 10 + cos π 10 ) , {\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}
e può essere scritto algebricamente come
d = 5 + 2 5 . Per maggiori informazioni clicca qui. Per maggiori informazioni clicca qui.}
Lati
Un decagono regolare ha 10 lati ed è equilatero. Ha 35 diagonali
Costruzione
Come 10 = 2 × 5, una potenza di due volte un primo di Fermat, ne consegue che un decagono regolare è costruibile usando bussola e rettilineo, o da una bisezione di bordo di un pentagono regolare.
Un’alternativa (ma simili) il metodo è come indicato di seguito:
- Costruisci un pentagono in un cerchio con uno dei metodi mostrati nella costruzione di un pentagono.
- Estendi una linea da ogni vertice del pentagono attraverso il centro del cerchio fino al lato opposto di quello stesso cerchio. Dove ogni linea taglia il cerchio è un vertice del decagono.
- I cinque angoli del pentagono costituiscono angoli alternativi del decagono. Unire questi punti ai nuovi punti adiacenti per formare il decagono.
Decagono regolare non convesso
Il rapporto di lunghezza di due diseguaglianza bordi di un triangolo d’oro è il rapporto aureo, denotato da Φ , {\displaystyle {\text{per }}\Phi {\text{,}}} 
Φ − 1 = 1 Φ = 2 cos 72 ∘ = 1 2 cos 36 ∘ = 5 − 1 2 . {\displaystyle \Phi -1={\frac {1}{\Phi }}=2\,\cos 72\,^{\circ }={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}}={\frac {\,{\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.{1}{\,2\,\ cos 36\,^{\circ }}} ={\frac { \ , {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\testo{.}}}
Quindi possiamo ottenere le proprietà di una stella decagonale regolare, attraverso una piastrellatura di triangoli dorati che riempie questo poligono stellare.
Il rapporto aureo in decagono
Sia nella costruzione con un dato circoncircolo che con una data lunghezza laterale è il rapporto aureo che divide un segmento di linea per divisione esterna l’elemento costruttivo determinante.
- Nella costruzione con dato circoncircolo l’arco circolare attorno a G con raggio GE3 produce il segmento AH, la cui divisione corrisponde al rapporto aureo.
A m M H = A H A M = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.{5}}}{2}}=\ Phi \ circa 1.618 {\testo{.Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.{5}}}{2}}=\ Phi \ circa 1.618 {\testo{.}}}
- Nella costruzione con lunghezza laterale data l’arco circolare intorno a D con raggio DA produce il segmento E10F, la cui divisione corrisponde al rapporto aureo.
E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R a = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618 . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}
Simmetria
Il decagono regolare ha simmetria Dih10, ordine 20. Ci sono 3 sottogruppi simmetrie diedre: Dih5, Dih2 e Dih1 e 4 simmetrie di gruppi ciclici: Z10, Z5, Z2 e Z1.
Queste 8 simmetrie possono essere viste in 10 simmetrie distinte sul decagono, un numero maggiore perché le linee di riflessione possono passare attraverso i vertici o i bordi. John Conway li etichetta con una lettera e un ordine di gruppo. La simmetria completa della forma regolare è r20 e nessuna simmetria è etichettata a1. Le simmetrie diedre sono divise a seconda che passino attraverso i vertici (d per diagonale) o i bordi (p per perpendicolari), e i quando le linee di riflessione attraversano entrambi i bordi e i vertici. Le simmetrie cicliche nella colonna centrale sono etichettate come g per i loro ordini di rotazione centrali.
Ogni simmetria sottogruppo consente uno o più gradi di libertà per le forme irregolari. Solo il sottogruppo g10 non ha gradi di libertà ma può essere visto come bordi diretti.
I decagoni irregolari a simmetria più alta sono d10, un decagono isogonale costruito da cinque specchi che possono alternare bordi lunghi e corti, e p10, un decagono isotossico, costruito con lunghezze di bordo uguali, ma vertici che alternano due diversi angoli interni. Queste due forme sono duali l’una dell’altra e hanno metà dell’ordine di simmetria del decagono regolare.
Dissezione
| 10-cubo di proiezione | 40 rombo dissezione | |||
|---|---|---|---|---|
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Coxeter afferma che ogni zonogon (un 2m-gon i cui lati opposti sono paralleli e di uguale lunghezza) può essere sezionato in m (m-1) / 2 parallelograms.In particolare questo è vero per i poligoni regolari con molti lati uniformemente, nel qual caso i parallelogrammi sono tutti rombi. Per il decagono regolare, m=5, e può essere diviso in 10 rombi, con esempi mostrati di seguito. Questa decomposizione può essere vista come 10 delle 80 facce in un piano di proiezione del poligono di Petrie del cubo 5. Una dissezione si basa su 10 delle 30 facce del triacontaedro rombico. L’elenco OEIS: A006245 definisce il numero di soluzioni come 62, con 2 orientamenti per la prima forma simmetrica e 10 orientamenti per l’altra 6.
 5-cubo |
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Skew decagon
| {5}#{ } | {5/2}#{ } | {5/3}#{ } |
|---|---|---|
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| Un decagono obliquo regolare è visto come bordi a zig-zag di un antiprismo pentagonale, un antiprismo pentagrammico e un antiprismo incrociato pentagrammico. | ||
Un decagono obliquo è un poligono obliquo con 10 vertici e spigoli ma non esistente sullo stesso piano. L’interno di tale decagono non è generalmente definito. Un decagono a zig-zag obliquo ha vertici alternati tra due piani paralleli.
Un decagono di inclinazione regolare è transitivo vertice con lunghezze di bordo uguali. In 3 dimensioni sarà un decagono inclinato a zig-zag e può essere visto nei vertici e nei bordi laterali di un antiprismo pentagonale, antiprismo pentagrammico e antiprismo incrociato pentagrammico con lo stesso D5d, simmetria, ordine 20.
Questi possono anche essere visti in questi 4 poliedri convessi con simmetria icosaedrica. I poligoni sul perimetro di queste proiezioni sono decagoni di inclinazione regolari.
 Dodecaedro |
 icosaedro |
 Icosidodecaedro |
 Rombico triacontahedron |
Petrie poligoni
regolare l’inclinazione decagon è il Petrie poligono per molte più dimensioni polytopes, mostrato in queste proiezioni ortogonali in vari Coxeter piani: Il numero di lati Petrie poligono è uguale al Coxeter numero, h, per ogni simmetria famiglia.
| A9 | D6 | B5 | ||
|---|---|---|---|---|
 9-simplex |
 411 |
 131 |
 5-orthoplex |
5-cubo |
Vedi anche
- Decagonali numero e centrata decagonali numero, figurate numeri modellato sul decagon
- Decagram, un poligono a forma di stella con le stesse posizioni di vertice come il decagono regolare
- ^ a b Sidebotham, Thomas H. (2003), Dalla a alla Z di Matematica: Una Guida di Base, John Wiley & Figli, pag. 146, ISBN 9780471461630.
- ^ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595.
- ^ The elements of plane and spherical trigonometry, Society for Promoting Christian Knowledge, 1850, p. 59. Si noti che questa fonte utilizza a come lunghezza del bordo e fornisce l’argomento della cotangente come angolo in gradi piuttosto che in radianti.
- ^ Ludlow, Henry H. (1904), Costruzione geometrica del Decagono regolare e del Pentagono inscritto in un cerchio, The Open Court Publishing Co..
- ^ ab Green, Henry (1861), Euclid’s Plane Geometry, Books III–VI, Practically Applied, or Gradations in Euclid, Part II, London: Simpkin, Marshall, & CO., pag. 116. Url consultato il 10 febbraio 2016.
- ^ a b Köller, Jürgen (2005), Decagono regolare, → 3a sezione “Formule, pagina a è data…”(in tedesco). Url consultato il 10 febbraio 2016.
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) Le Simmetrie delle Cose, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capitolo 20, Generalizzata Schaefli simboli, Tipi di simmetria di un poligono pp. 275-278)
- ^ Coxeter, ricreazioni Matematiche e Saggi, Xiii edizione, p.141
- ^ Coxeter, Regolare polytopes, 12.4 Petrie poligono, pp. 223-226.
- Weisstein, Eric W. “Decagon”. MathWorld.
- Definizione e proprietà di un decagono con animazione interattiva