Dekagon

Der Lead-Abschnitt dieses Artikels ist möglicherweise zu kurz, um die wichtigsten Punkte angemessen zusammenzufassen. Bitte erwägen Sie, den Lead zu erweitern, um einen zugänglichen Überblick über alle wichtigen Aspekte des Artikels zu erhalten. (Mai 2019)

Reguläres Polygon

{10}, t{5}

Dieder (D10), Ordnung 2×10

144°

Konvex, zyklisch, gleichseitig, isogonal, isotoxal

In der Geometrie ist ein Zehneck (aus dem griechischen δέκα déka und γωνία gonía, „zehn Winkel“) ein zehnseitiges Polygon oder 10-gon. Die Gesamtsumme der Innenwinkel eines einfachen Zehnecks beträgt 1440 °.

Ein sich selbst schneidendes regelmäßiges Zehneck wird als Dekagramm bezeichnet.

Reguläres Zehneck

Ein reguläres Zehneck hat alle Seiten gleicher Länge und jeder Innenwinkel ist immer gleich 144 °. Sein Schläfli-Symbol ist {10} und kann auch als abgeschnittenes Fünfeck konstruiert werden, t{5}, ein quasireguläres Zehneck, das zwei Arten von Kanten abwechselt.

Fläche

Die Fläche eines regelmäßigen Zehnecks der Seitenlänge a ist gegeben durch:

A = 5 2 a 2 a ⁡ ( π 10 ) = 5 2 a 2 5 + 2 5 ≃ 7.694208843 a 2 {\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \links({\frac {\pi }{10}}\rechts)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,ein^{2}}

In Bezug auf das Apothem r (siehe auch beschriftete Abbildung) ist die Fläche:

A = 10 tan ⁡ ( π 10 ) r 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle A=10\tan \links({\frac {\pi }{10}}\rechts)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\links(5-2{\sqrt {5}}\rechts)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}}

In Bezug auf den Radius R ist die Fläche:

A = 5 sin ⁡ ( π 5) R 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃ 2.938926261 R 2 {\displaystyle A=5\sin \links({\frac {\pi }{5}}\rechts)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ simeq 2.938926261\,R^{2}}

Eine alternative Formel ist A = 2.5 d a {\displaystyle A=2.5da} wobei d der Abstand zwischen parallelen Seiten oder die Höhe ist, wenn das Zehneck auf einer Seite als Basis steht, oder der Durchmesser des eingeschriebenen Kreises des Zehnecks. Durch einfache Trigonometrie ist

d = 2 a ( cos ⁡ 3 π 10 + cos ⁡ π 10 ) , {\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}

und es kann algebraisch als

d = a 5 + 2 5 geschrieben werden. {\displaystyle d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.}

Seiten

Ein reguläres Zehneck hat 10 Seiten und ist gleichseitig. Es hat 35 Diagonalen

Konstruktion

Als 10 = 2 × 5, eine Potenz von zwei Mal einer Fermat-Primzahl, folgt daraus, dass ein reguläres Zehneck mit Kompass und Lineal oder durch eine Kantenhalbierung eines regulären Fünfecks konstruierbar ist.

Bau von Decagon

Bau des Pentagon

Eine alternative (aber ähnliche) Methode ist wie folgt:

1. Konstruieren Sie ein Fünfeck in einem Kreis mit einer der unter Konstruieren eines Fünfecks gezeigten Methoden.
2. Dehne eine Linie von jedem Scheitelpunkt des Fünfecks durch die Mitte des Kreises auf die gegenüberliegende Seite desselben Kreises aus. Wo jede Linie den Kreis schneidet, ist ein Scheitelpunkt des Zehnecks.
3. Die fünf Ecken des Fünfecks bilden alternative Ecken des Zehnecks. Verbinden Sie diese Punkte mit den angrenzenden neuen Punkten, um das Zehneck zu bilden.

Nicht konvexes regelmäßiges Zehneck

Diese Kachelung aus goldenen Dreiecken, einem regelmäßigen Fünfeck, enthält eine Stellation aus regelmäßigem Zehneck, dessen Schäfli-Symbol {10/3} ist.

Das Längenverhältnis zweier ungleicher Kanten eines goldenen Dreiecks ist der goldene Schnitt, bezeichnet mit Φ , {\displaystyle {\text{by }}\Phi {\text{,}}} oder seine multiplikative Inverse:

Φ – 1 = 1 Φ = 2 cos ⁡ 72 ∘ = 1 2 cos ⁡ 36 ∘ = 5 − 1 2 . {\displaystyle \Phi -1={\frac {1}{\Phi }}=2\,\cos 72\,^{\circ }={\frac {1}{\,2\,\ cos 36\,^{\circ }}}={\frac {\,{\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\ text{.}}}

So können wir die Eigenschaften eines regulären zehneckigen Sterns durch eine Kachelung mit goldenen Dreiecken erhalten, die dieses Sternpolygon ausfüllt.

Der goldene Schnitt im Zehneck

Sowohl bei der Konstruktion mit vorgegebenem Umkreis als auch bei vorgegebener Seitenlänge ist der goldene Schnitt, der ein Liniensegment durch äußere Teilung teilt, das bestimmende Konstruktionselement.

• Bei der Konstruktion mit gegebenem Umkreis ergibt der Kreisbogen um G mit Radius GE3 das Segment AH, dessen Teilung dem goldenen Schnitt entspricht.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618 . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\ Phi \approx 1.618{\text{.}}}

• Bei der Konstruktion mit gegebener Seitenlänge ergibt der Kreisbogen um D mit Radius DA das Segment E10F, dessen Teilung dem goldenen Schnitt entspricht.

E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R a = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618 . {\Displa {E_ {1}E_{10}}} {\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_ {10} F}} {\overline {E_{1}e_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ appro ^ 1.618 {\te ^ ^ {.}}}

Zehneck mit vorgegebenem Umkreis, Animation

Decagon mit einer bestimmten Seitenlänge, Animation

Symmetrie

Symmetrien eines regelmäßigen Zehnecks. Vertices werden durch ihre Symmetriepositionen gefärbt. Blaue Spiegel werden durch Eckpunkte und violette Spiegel durch Kanten gezeichnet. Gyration Aufträge werden in der Mitte gegeben.

Das reguläre Zehneck hat Dih10 Symmetrie, Ordnung 20. Es gibt 3 Untergruppen-Diedersymmetrien: Dih5, Dih2 und Dih1 und 4 zyklische Gruppensymmetrien: Z10, Z5, Z2 und Z1.

Diese 8 Symmetrien sind in 10 verschiedenen Symmetrien auf dem Zehneck zu sehen, eine größere Anzahl, da die Reflexionslinien entweder durch Eckpunkte oder Kanten verlaufen können. John Conway beschriftet diese mit einem Buchstaben und einer Gruppenreihenfolge. Die vollständige Symmetrie der regulären Form ist r20 und keine Symmetrie ist mit a1 bezeichnet. Die Diedersymmetrien werden unterteilt, je nachdem, ob sie durch Scheitelpunkte (d für diagonale) oder Kanten (p für senkrechte) verlaufen, und i, wenn Reflexionslinien sowohl durch Kanten als auch durch Scheitelpunkte verlaufen. Zyklische Symmetrien in der mittleren Spalte sind für ihre zentralen Gyrationsordnungen mit g gekennzeichnet.

Jede Untergruppensymmetrie erlaubt einen oder mehrere Freiheitsgrade für unregelmäßige Formen. Nur die g10-Untergruppe hat keine Freiheitsgrade, sondern kann als gerichtete Kanten gesehen werden.

Die unregelmäßigen Dekagone mit der höchsten Symmetrie sind d10, ein isogonales Dekagon, das aus fünf Spiegeln besteht, die lange und kurze Kanten abwechseln können, und p10, ein isotoxales Dekagon, das mit gleichen Kantenlängen konstruiert ist, aber Scheitelpunkte, die zwei verschiedene Innenwinkel abwechseln. Diese beiden Formen sind duale voneinander und haben die Hälfte der Symmetrieordnung des regulären Zehnecks.

Dissektion

10- würfelprojektion	40 Rhombendissektion

Coxeter gibt an, dass jedes Zonogon (ein 2m-Gon, dessen gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind) in m (m-1) / 2 zerlegt werden kann parallelograms.In dies gilt insbesondere für regelmäßige Polygone mit gleichmäßig vielen Seiten, in diesem Fall sind die Parallelogramme alle Rhomben. Für das reguläre Zehneck, m = 5, und es kann in 10 Rauten unterteilt werden, mit Beispielen unten gezeigt. Diese Zerlegung kann als 10 von 80 Flächen in einer Petrie-Polygonprojektionsebene des 5-Würfels gesehen werden. Eine Dissektion basiert auf 10 von 30 Flächen des rhombischen Triakontaeders. Die Liste OEIS: A006245 definiert die Anzahl der Lösungen als 62, mit 2 Orientierungen für die erste symmetrische Form und 10 Orientierungen für die anderen 6.

Reguläres Zehneck in 10 Rauten zerlegt

5-Würfel

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons

{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
Ein regelmäßiges schräges Zehneck wird als zickzackförmige Kanten eines fünfeckigen Antiprismas, eines pentagrammischen Antiprismas und eines pentagrammischen gekreuzten Antiprismas angesehen.

Ein Skew-Zehneck ist ein Skew-Polygon mit 10 Eckpunkten und Kanten, das jedoch nicht in derselben Ebene vorhanden ist. Das Innere eines solchen Zehnecks ist nicht allgemein definiert. Ein schräges Zick-Zack-Zehneck hat Scheitelpunkte, die sich zwischen zwei parallelen Ebenen abwechseln.

Ein reguläres Skew-Dekagon ist vertex-transitiv mit gleichen Kantenlängen. In 3-Dimensionen ist es ein Zick-Zack-Schrägdekagon und kann in den Eckpunkten und Seitenkanten eines fünfeckigen Antiprismas, eines pentagrammischen Antiprismas und eines pentagrammischen gekreuzten Antiprismas mit demselben D5d, Symmetrie, Ordnung 20 gesehen werden.

Diese sind auch in diesen 4 konvexen Polyedern mit ikosaedrischer Symmetrie zu sehen. Die Polygone am Umfang dieser Vorsprünge sind regelmäßige Skew-Dekagone.

Orthogonale Projektionen von Polyedern auf 5-Fach-Achsen

Dodekaeder

Ikosaeder

Ikosidodekaeder

Rhombisches Triakontaeder

Petrie-Polygone

Das reguläre Skew-Dekagon ist das Petrie-Polygon für viele höherdimensionale Polytope, die in diesen orthogonalen Projektionen in verschiedenen Coxeter-Ebenen dargestellt sind: Die Anzahl der Seiten im Petrie-Polygon ist gleich der Coxeter-Zahl h für jede Symmetriefamilie.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-Würfel

Siehe auch

• Decagonal number und centered decagonal number, figurative Zahlen nach dem Vorbild des Decagon
• Decagram, ein Sternpolygon mit den gleichen Scheitelpunktpositionen wie das reguläre Decagon

• Weisstein, Eric W. „Zehneck“. MathWorld.
• Definition und Eigenschaften eines Zehnecks Mit interaktiver Animation