Dekagoni

tämän artikkelin pääosio voi olla liian lyhyt tiivistämään riittävästi keskeisiä kohtia. Harkitse lyijyn laajentamista, jotta saat helposti yleiskuvan kaikista artikkelin tärkeistä näkökohdista. Toukokuuta 2019)

säännöllinen dekagoni

Tyyppi

säännöllinen monikulmio

särmät ja kärkipisteet

Schläflin symboli

{10}, lä{5}

Coxeter-Dynkinin diagrammit

Symmetriaryhmä

Dihedraalinen (D10), järjestys 2×10

sisäkulma (astetta)

144°

Kupera, syklinen, tasasivuinen, isogonaalinen, isotoksinen

geometriassa dekagoni (kreikan sanoista δέκα déka ja γωνία gonía, ”kymmenen kulmaa”) on kymmensivuinen monikulmio eli 10-kulmio. Yksinkertaisen dekagonin sisäkulmien yhteissumma on 1440°.

itseään leikkaava säännöllinen dekagoni tunnetaan dekagrammina.

säännöllinen dekagoni

säännöllisen dekagonin kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja jokainen sisäkulma on aina yhtä suuri kuin 144°. Sen Schläflin symboli on {10}, ja se voidaan konstruoida myös typistettynä viisikulmiona, t{5}, kvasisäännöllisenä dekagonina, joka vuorottelee kahta reunatyyppiä.

pinta-ala

säännöllisen dekagonin pinta-ala, jonka sivun pituus on a, saadaan kaavalla:

A = 5 2 a 2 cot ⁡ ( π 10) = 5 2 a 2 5 + 2 5 ≃ 7.694208843 a 2 {\displaystyle a={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\, a^{2}}

apoteemin r (Katso myös kaiverrettu kuva) pinta-ala on:

a = 10 tan ⁡ (π 10) r 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle A=10\tan \left ({\frac {\pi }{10}}\right)R^{2}=2R^{2} {\sqrt {5\left (5-2{\sqrt {5}}\right)}\simeq 3.249196962\, r^{2}}

circumradius R: n pinta-ala on:

a = 5 sin ⁡ (π 5) R 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃ 2.938926261 R 2 {\displaystyle A=5\sin \left ({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2} = {\frac {5}{2}}r^{2}{\sqrt {\frac {5 – {\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\, R^{2}}

vaihtoehtoinen kaava on a = 2,5 d A {\displaystyle A=2,5 da} missä d on yhdensuuntaisten sivujen välinen etäisyys, tai korkeus, kun dekagoni on toisella puolella jalustana, tai dekagonin piirretyn ympyrän halkaisija. Yksinkertaisella trigonometrialla

d = 2 a ( Cos ⁡ 3 π 10 + cos π π 10), {\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}

ja se voidaan kirjoittaa algebrallisesti muodossa

D = A 5 + 2 5 . {\displaystyle d=a {\sqrt {5+2 {\sqrt {5}}}}.}

sivut

säännöllisessä dekagonissa on 10 sivua ja se on tasasivuinen. Siinä on 35 lävistäjää

konstruktio

kuten 10 = 2 × 5, jonka potenssi on kaksi kertaa Fermat ’ n alkuluku, tästä seuraa, että säännöllinen dekagoni on konstruoitavissa kompassilla ja suoralla, tai säännöllisen viisikulmion särmäbisektiolla.

vaihtoehtoinen (mutta samankaltainen) menetelmä on seuraava:

1. muodosta ympyrän muotoinen pentagon jollakin niistä menetelmistä, jotka on esitetty Pentagonin rakentamisessa.
2. pidennä jokaisesta Pentagonin kärkipisteestä ympyrän keskipisteen kautta kulkeva suora saman ympyrän vastakkaiselle puolelle. Jossa jokainen suora leikkaa ympyrän on huippupiste, dekagon.
3. Pentagonin viisi kulmaa muodostavat dekagonin varakulmat. Yhdistä nämä pisteet viereisiin uusiin pisteisiin ja muodosta dekagoni.

nonconvex regular decagon

Kultaisen kolmion kahden epätasaisen reunan pituussuhde on kultainen suhde, jota merkitään Φ: llä, {\displaystyle {\text {by }}\Phi {\text{,}}} tai sen kertova inversio:

Φ − 1 = 1 Φ = 2 cos ⁡ 72 ∘ = 1 2 cos ⁡ 36 ∘ = 5 − 1 2 . {\displaystyle \Phi -1={\frac {1}{\Phi }}=2\,\cos 72\,^{\circ } = {\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }} = {\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\teksti{.}}}

näin saadaan säännöllisen dekagonaalisen tähden ominaisuudet kultaisten kolmioiden laatoituksen kautta, joka täyttää tämän tähden monikulmion.

kultainen suhdeluku dekagonina

sekä rakentamisessa annetulla ympärileikkauksella että annetulla sivun pituudella on kultainen suhdeluku, joka jakaa janan ulkojaolla määrittävän rakennusosan.

• konstruktiossa annetulla ympärileikkauksella g: n ympäri säteeltään GE3 saa aikaan janan AH, jonka jako vastaa kultaista suhdelukua.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1, 618 . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618 {\text {.}}}

• konstruktiossa, jonka sivun pituus on annettu, ympyränmuotoinen kaari D: n ympärillä säteellä DA tuottaa segmentin E10F, jonka jako vastaa kultaista suhdelukua.

E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R A = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1, 618 . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {e_{1}F}}={\frac {\overline {e_{10} F}} {\overline {e_{10} e_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618 {\text {.}}}

symmetria

säännöllisellä dekagonilla on dih10-symmetria, järjestyksessään 20. Aliryhmiä on 3 dihedrisiä symmetrioita: Dih5, Dih2 ja Dih1, ja 4 syklisiä ryhmäsymmetrioita: Z10, Z5, Z2 ja Z1.

nämä 8 symmetriaa voidaan nähdä kymmenenä erillisenä symmetriana dekagonilla, mikä on suurempi luku, koska heijastusjanat voivat kulkea joko kärkien tai särmien kautta. John Conway luokittelee ne kirjeellä ja ryhmäkäskyllä. Säännöllisen muodon täysi symmetria on r20 ja mitään symmetriaa ei merkitä A1. Dihedraaliset symmetriat jaetaan sen mukaan, läpäisevätkö ne vertices-pisteet (diagonaalinen d) vai särmät (pystysuoria P), Ja minä, kun heijastusjanat kulkevat molempien särmien ja vertices-pisteiden kautta. Keskimmäisen sarakkeen sykliset symmetriat merkitään g: ksi niiden keskihyrraatiokäskyille.

jokainen aliryhmäsymmetria mahdollistaa yhden tai useamman vapausasteen epäsäännöllisille muodoille. Vain G10-alaryhmällä ei ole vapausasteita, vaan se voidaan nähdä suunnattuina reunoina.

korkeimmat symmetria-epäsäännölliset dekagonit ovat D10, isogonaalinen dekagoni, jonka viisi peiliä voivat vuorotella pitkillä ja lyhyillä särmillä, ja p10, isotoksinen dekagoni, jonka särmät ovat yhtä pitkät, mutta kärjet vuorottelevat kahta eri sisäkulmaa. Nämä kaksi muotoa ovat toistensa duaaleja ja niillä on puolet säännöllisen dekagon symmetriajärjestyksestä.

dissektio

10-kuutioprojektio	40 rommin dissektio

Coxeter todetaan, että jokainen zonogon (a 2m-gon, jonka vastakkaiset puolet ovat yhdensuuntaisia ja yhtä pitkiä) voidaan dissected osaksi m (m-1)/2 parallelograms.In erityisesti tämä pätee säännöllisiin monikulmioihin, joilla on tasaisesti monta sivua, jolloin parallelogrammit ovat kaikki rhombeja. Säännölliselle dekagonille m=5, ja se voidaan jakaa 10 rhombiin, joiden esimerkit on esitetty alla. Tämä hajoaminen voidaan nähdä 10 80 Kasvot Petrie monikulmio projektio taso 5-kuutio. Dissektio perustuu 10: een rombisen triakontaedrin 30: stä tahkosta. Luettelo OEIS: A006245 määrittelee ratkaisujen määrän 62: ksi, joista 2 suuntaa ensimmäiselle symmetriselle muodolle ja 10 suuntaa muille 6: lle.

säännöllinen dekagoni leikattuna 10 rombiksi

5-kuutio

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons

{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
säännöllinen vinokulmakuvioinen dekagoni nähdään viisikulmaisen antiprisman, pentagrammisen antiprisman ja pentagrammisen ristieprisman siksakaavioisina reunoina.

vinokulmio on vinokulmio, jossa on 10 kärkeä ja särmää, mutta joka ei ole samassa tasossa. Tällaisen dekagonin sisusta ei ole yleisesti määritelty. A skew siksak dekagon on vertices vuorottelevat kaksi rinnakkaista tasoa.

säännöllinen vinotransitiivi on kärkitransitiivi, jonka reunapituudet ovat yhtä suuret. Vuonna 3-ulottuvuudet se on siksak skew dekagon ja voidaan nähdä vertices ja reunoilla viisikulmainen antiprism, pentagrammic antiprism, ja pentagrammic crossed-antiprism kanssa sama D5d, symmetria, järjestys 20.

nämä voidaan nähdä myös näissä 4 kuperassa monitahokkaassa, joilla on ikosaedrinen symmetria. Näiden projektioiden kehän monikulmiot ovat säännöllisiä vinokulmakuvioita.

monitahokkaiden ortogonaaliset projektiot 5-kertaisilla akseleilla

dodekaedri

ikosaedri

Ikosidodekaedri

rombinen triakontaedri

Petrie-monikulmio

säännöllinen vinokulmio on Petrie-monikulmio monille korkeampiulotteisille polytoopeille, joka esitetään näissä ortogonaalisissa projektioissa eri Coxeterin tasoilla: Petrie-monikulmion sivujen lukumäärä on yhtä suuri kuin Coxeterin luku, h, jokaiselle symmetriaperheelle.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-kuutioinen

Katso myös

• Dekagoniluku ja keskitetty dekagoniluku, dekagrammi
• Dekagrammi, tähtimonikulmio, jonka kärkipaikat ovat samat kuin säännöllisellä dekagonilla

• Weisstein, Eric W. ”Decagon”. MathWorld.
• interaktiivisella animaatiolla varustetun dekagon määritelmä ja ominaisuudet