Decagon

Wiki letter w. svg
denne artikkelen føre delen kan være for kort til å tilstrekkelig oppsummere de viktigste punktene. Vennligst vurder å utvide ledelsen for å gi en tilgjengelig oversikt over alle viktige aspekter av artikkelen. (Mai 2019)

Regular decagon

Vanlig polygon 10 annotert.svg

en regulær dekagon

Type

regulær polygon

Kanter og hjørner

Schlä Symbol

{10}, t{5}

coxeter-Dynkin diagrammer

 CDel node 1.png  CDel 10.png  cdel-node.png
 cdel node 1.png  CDel 5.png  cdel node 1.png

Symmetri gruppe

Dihedral (D10), rekkefølge 2×10

Intern vinkel (grader)

144°

Egenskaper

Konveks, syklisk, liksidig, isogonal, isotoksal

i geometri er en dekagon (fra gresk δέκα dé og γωνία, «ti vinkler») en ti-sidig polygon eller 10-gon. Den totale summen av de indre vinklene på en enkel dekagon er 1440°.

en selvkryssende regulær dekagon er kjent som et decagram.

Regulær decagon

en regulær decagon har alle sider av samme lengde og hver indre vinkel vil alltid være lik 144°. Schlä symbolet er {10} og kan også konstrueres som en avkortet femkant, t{5}, en kvasiregulær dekagon som veksler to typer kanter.

Område

området med en regulær decagon av sidelengde a er gitt av:

a = 5 2 a 2 cot ⁡ ( π 10 ) = 5 2 a 2 5 + 2 5 ≃ 7.694208843 a 2 {\displaystyle a={\frac {5}{2}}a^{2} \ cot \venstre ({\frac {\pi }{10}\høyre)={\frac {5} {2}} a^{2} {\sqrt {5}}}\simeq 7.694208843\, en^{2}}{\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2} \ cot \ venstre ({\frac {\pi }{10}}\høyre)={\frac {5}{2}} a^{\sqrt {5 + 2{\sqrt {5}}}\simeq 7,694208843\, a^{2}}

når det gjelder apothem r (se også innskrevet figur), er området:

A = 10 tan ⁡ ( π 10) r 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle a = 10 \tan\venstre ({\frac {\pi }{10}}\høyre)r^{2}=2r^{2} {\sqrt {5\venstre(5-2 {\sqrt {5}}\høyre)}} \ simeq 3.249196962\, r^{2}}{\displaystyle a = 10 \ tan \ venstre ({\frac {\pi }{10}}\høyre) r^{2}=2r^{2} {\sqrt {5 \ venstre (5-2{\sqrt {5}}\høyre)}}\simeq 3.249196962\, r^{2}}

når det gjelder circumradius R, er området:

a = 5 sin ⁡ ( π 5 ) r 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃ 2.938926261 R 2 {\displaystyle a=5 \ sin \ venstre ({\frac {\pi }{5}} \ høyre) r^{2} = {\frac {5}{2}}r^{2}{\sqrt {\frac {5 – {\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\, R^{2}}{\displaystyle a = 5 \ sin \ venstre ({\frac {\pi }{5}}\høyre)r^{2}={\frac {5}{2}} r^{2}{\sqrt {\frac {5 - {\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\, R^{2}}

en alternativ formel er a = 2,5 d a {\displaystyle a=2,5 da}  {\displaystyle a = 2.5da} hvor d er avstanden mellom parallelle sider, eller høyden når decagon står på den ene siden som base, eller diameteren til decagonens innskrevne sirkel. Ved enkel trigonometri,

d = 2 a ( cos ⁡ 3 π 10 + cos ⁡ π 10 ) , {\displaystyle d=2a\venstre(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}\høyre),}{\displaystyle d=2a\venstre(\cos {\tfrac {3\pi} {10}}+\cos {\tfrac {\pi} {10}}\høyre),}

og det kan skrives algebraisk som

d = a 5 + 2 5 . {\displaystyle d=a{\sqrt {5 + 2 {\sqrt {5}}}}.} {\displaystyle d=a {\sqrt {5 + 2 {\sqrt {5}}}}.}

Sider

en regulær dekagon har 10 sider og er likesidet. Den har 35 diagonaler

Konstruksjon

Som 10 = 2 × 5, en kraft på to Ganger En Fermat prime, følger det at en vanlig decagon er konstruerbar ved hjelp av kompass og straightedge, eller ved en kant-biseksjon av en vanlig femkant.

Konstruksjon av decagon

bygging av pentagon

en alternativ (men lignende) metode er som følger:

  1. Konstruer en femkant i en sirkel ved en av metodene vist i å bygge en femkant.
  2. Forleng en linje fra hvert toppunkt i pentagonen gjennom sirkelens senter til motsatt side av den samme sirkelen. Hvor hver linje kutter sirkelen er et toppunkt av decagon.
  3. femkantens fem hjørner utgjør alternative hjørner av decagon. Bli med disse punktene til de tilstøtende nye poeng for å danne decagon.

ikke-Konveks regulær dekagon

denne flislegging av gyldne trekanter, en vanlig femkant, inneholder en stellasjon av vanlig decagon, Hvis [email protected] er {10/3}.

lengden forholdet mellom to inequal kantene på en golden triangle er det gylne snitt, som er merket med Φ , {\displaystyle {\text{av }}\Phi {\tekst{,}}} {\displaystyle {\text{av }}\Phi {\text{,}}} eller dets multiplicative invers:

Φ − 1 = 1 Φ = 2 cos ⁡ 72 ∘ = 1 2 cos ⁡ 36 ∘ = 5 − 1 2 . {\displaystyle \ Phi -1={\frac {1} {\Phi }} = 2\, \ cos 72\,^{\circ } ={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} = {\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\tekst{.}}} {\displaystyle \ Phi -1={\frac {1} {\Phi }} = 2\, \ cos 72\,^{\circ } ={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} = {\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\tekst{.}}}

slik at vi kan få egenskapene til en vanlig decagonal stjerne, gjennom en flislegging av gyldne trekanter som fyller denne stjernepolygonen.

det gylne snitt i decagon

Både i konstruksjonen med gitt circumcircle samt med gitt sidelengde er det gylne snitt dele et linjesegment ved utvendig divisjon det bestemmende konstruksjonselement.

  • i konstruksjonen med gitt circumcircle produserer sirkelbuen Rundt G MED radius GE3 segmentet AH, hvis divisjon tilsvarer det gyldne forholdet.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1.618 . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}} {\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}}}={\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ ca 1.618{\text{.}}} {\displaystyle {\frac {\overline {AM}} {\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}}}={\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ ca 1.618{\text{.}}}

  • i konstruksjonen med gitt sidelengde produserer sirkelbuen Rundt D Med radius DA segmentet E10F, hvis divisjon tilsvarer det gyldne forholdet.

E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R a = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1.618 . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}e_{10}}} {\overline {E_{1}F}}={\frac {\overline {E_{10}F}} {\overline {E_{1}e_{10}}} = {\frac {R}{a}}={\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ ca 1.618{\text{.}}} {\overline {\overline {E_{1} e_ {10}}} {\overline {E_ {10} F}}={\overline {E_{1} e_ {10}}} = {\frac {r} {a}}={\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ approachx 1.618 {\Te Te}}}

Decagon med gitt circumcircle, animasjon

Decagon med en gitt sidelengde, animasjon

Symmetri

Symmetrier av en vanlig decagon. Vertices er farget av deres symmetriposisjoner. Blå speil trekkes gjennom hjørner, og lilla speil trekkes gjennom kanter. Gyrasjonsordrer er gitt i sentrum.

den vanlige dekagon har Dih10 symmetri, rekkefølge 20. Det er 3 undergrupper dihedralsymmetrier: Dih5, Dih2 og Dih1, og 4 sykliske gruppesymmetrier: Z10, Z5, Z2 Og Z1.

Disse 8 symmetrier kan ses i 10 forskjellige symmetrier på decagon, et større tall fordi refleksjonene kan enten passere gjennom hjørner eller kanter. John Conway etiketter disse ved et brev og gruppe rekkefølge. Full symmetri av den vanlige formen er r20 og ingen symmetri er merket a1. De dihedrale symmetrier er delt avhengig av om de passerer gjennom hjørner (d for diagonal) eller kanter (p for perpendiculars), og i når refleksjonslinjer går gjennom begge kanter og hjørner. Sykliske symmetrier i midtkolonnen er merket som g for deres sentrale gyrasjonsordrer.

hver undergruppesymmetri tillater en eller flere frihetsgrader for uregelmessige former. Bare g10-undergruppen har ingen frihetsgrader, men kan ses som rettede kanter.

den høyeste symmetrien irregulære dekagon er d10, en isogonal dekagon konstruert av fem speil som kan veksle mellom lange og korte kanter, og p10, en isotoksal dekagon, konstruert med like kantlengder, men hjørner veksler mellom to forskjellige indre vinkler. Disse to formene er dualer av hverandre og har halv symmetri rekkefølge av den vanlige decagon.

Disseksjon

10-kube projeksjon 40 rombe disseksjon
10-kube t0 A9.svg 10-gon rhombic disseksjon-størrelse2.svg 10-gon rombisk disseksjon2-størrelse2.svg 10-gon rombisk disseksjon3-størrelse2.svg 10-gon rombisk disseksjon4-størrelse2.svg
10-gon rombisk disseksjon5-størrelse2.svg 10-gon rombisk disseksjon6-størrelse2.svg 10-gon rombisk disseksjon7-størrelse2.svg 10-gon rombisk disseksjon8-størrelse2.svg 10-gon rombisk disseksjon9-størrelse2.svg

Coxeter sier at hver zonogon (en 2m-gon hvis motsatte sider er parallelle og like lange) kan dissekeres i m (m-1) / 2 parallelograms.In spesielt gjelder dette for vanlige polygoner med jevnt mange sider, i så fall er parallellogrammene alle rhombi. For den vanlige decagon, m=5, og den kan deles inn i 10 rhombs, med eksempler vist nedenfor. Denne dekomponeringen kan ses som 10 av 80 ansikter i Et Petrie-polygonprojeksjonsplan av 5-kuben. En disseksjon er basert på 10 av 30 ansikter av rhombic triacontahedron. Listen OEIS: A006245 definerer antall løsninger som 62, med 2 orienteringer for den første symmetriske formen og 10 orienteringer for den andre 6.

Vanlig dekagon dissekert til 10 rhombi
5-cube t0.svg
5-kube
soldekant.svg Sun2 decagon.svg Dart2 decagon.svg
Halfsun decagon.svg Dart decagon.svg Dart decagon ccw.svg Cartwheel decagon.svg

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons
{5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ }
Regular skew polygon in pentagonal antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic crossed-antiprism.png
en vanlig skew decagon er sett på som sikk-zagging kanter av en femkantet antiprism, en pentagrammic antiprism, og en pentagrammic krysset-antiprism.

en skrå dekagon er en skrå polygon med 10 hjørner og kanter, men ikke eksisterende på samme plan. Interiøret i en slik decagon er ikke generelt definert. En skrå sikk-sakk-dekagon har hjørner som veksler mellom to parallelle plan.

en vanlig skrå dekagon er vertex-transitiv med like kantlengder. I 3-dimensjoner vil det være en sikk-sakk skew decagon og kan sees i hjørnene og sidekantene av en femkantet antiprism, pentagrammic antiprism, og pentagrammic krysset-antiprism med samme D5d, symmetri, orden 20.

Disse kan også ses i disse 4 konvekse polyedrene med icosahedral symmetri. Polygonene på omkretsen av disse fremspringene er vanlige skrå decagons.

Ortogonale fremspring av polyeder på 5-fold akser
Dodekahedron petrie.png
Dodekahedron
 icosahedron petrie.png
Icosahedron
 Dodekahedron t1 H3.png
Icosidodekahedron
 Dobbel dodekahedron t1 H3.png
Rhombisk triakontaeder

Petrie polygoner

den regulære skrå dekagon er Petrie polygon for mange høyere dimensjonale polytoper, vist i disse ortogonale projeksjoner i ulike Koxeter plan: antall sider I Petrie polygon er lik Koxeter tall, h, for hver symmetri familie.

A9 D6 B5
9-simplex t0.svg
9-simplex
6-cube t5 B5.svg
411
6-demicube t0 D6.svg
131
5-cube t4.svg
5-orthoplex
5-cube t0.svg
5-kube

Se også

  • Dekagonalt tall og sentrert dekagonalt tall, figurantall modellert på dekagon
  • Decagram, et stjernepolygon med samme toppunktposisjoner som det vanlige dekagon
  1. ^ A B Sidebotham, Thomas H. (2003), A Til Å I Matematikk: En Grunnleggende Guide, John Wiley & Sons, s. 146, ISBN 9780471461630.
  2. ^ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Modeller, Cambridge University Press, s. 9, ISBN 9780521098595.
  3. ^ elementene i plan og sfærisk trigonometri, Society For Promoting Christian Knowledge, 1850, s.59. Merk at denne kilden bruker a som kantlengden og gir argumentet til cotangenten som en vinkel i grader i stedet for i radianer.
  4. ^ Ludlow, Henry H. (1904), Geometrisk Konstruksjon av Regulær Dekagon og Pentagon Innskrevet I En Sirkel, Open Court Publishing Co..
  5. ^ A B Green, Henry (1861), Euklids Plangeometri, Books III–VI, Praktisk Anvendt, Eller Graderinger I Euklid, Part II, London: Simpkin, Marshall,& CO., s. 116. Besøkt 10. Februar 2016.
  6. ^ A B Kö, Jü (2005), Vanlig dekagon, → 3. Seksjon » Formler, side a er oppgitt …»(på tysk). Besøkt 10. Februar 2016.
  7. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries Of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapittel 20, Generalized Schaefli symbols, Types Of symmetry of a polygon s.275-278)
  8. ^ Coxeter, Mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, s.141
  9. ^ coxeter, Regulære Polytoper, 12.4 Petrie Polygon, S. 223-226.
  • Weisstein, Eric W. «Decagon». MathWorld.
  • Definisjon Og egenskaper for en dekagon med interaktiv animasjon

Leave a Reply

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert.