Decagon

sekcja Główna tego artykułu może być zbyt krótka, aby odpowiednio podsumować kluczowe punkty. Rozważ rozszerzenie przewodnika, aby zapewnić dostępny przegląd wszystkich ważnych aspektów artykułu. (Maj 2019)

zwykły dekagon

Typ

wielokąt regularny

krawędzie i wierzchołki

symbol Schläfli

{10}, t{5}

diagramy Coxetera-Dynkina

Grupa symetrii

Dihedral (D10), zamówienie 2×10

kąt wewnętrzny (stopnie)

144°

właściwości

wypukły, cykliczny, równoboczny, izogonalny, izotoksyczny

w geometrii dekagon (z greckiego δέκα déka I γωνία gonía, „dziesięć kątów”) jest dziesięciobocznym wielokątem lub 10-Gonem. Suma kątów wewnętrznych prostego dziesięciokąta wynosi 1440°.

samo przecinający się regularny dekagon jest znany jako dekagram.

dekagon regularny

dekagon regularny ma wszystkie boki jednakowej długości, a każdy kąt wewnętrzny zawsze będzie równy 144°. Jego symbolem Schläfli jest {10} i może być również skonstruowany jako ścięty pentagon, T{5}, quasiregular decagon naprzemiennie dwa rodzaje krawędzi.

Powierzchnia

powierzchnia regularnego dziesięciokąta o długości boku a jest określona przez:

a = 5 2 a 2 cot ⁡ ( π 10 ) = 5 2 a 2 5 + 2 5 ≃ 7.694208843 a 2 {\displaystyle A = {\frac{5} {2}}a^{2} \cot\left ({\frac {\pi} {10}}\right)={\frac{5} {2}}a^{2} {\sqrt {5+2 {\sqrt {5}}} \ simeq 7.694208843\, a^{2}} $A={\frac{5} {2}}a^{2}\cot \left ({\frac {\pi} {10}}\right) = {\frac{5} {2}}a^{2} {\sqrt {5+2 {\sqrt {5}}}\simeq 7.694208843\, a^{2}$

jeśli chodzi o apotemię r (zob. też rys.), powierzchnia wynosi:

a = 10 tan ⁡ ( π 10 ) R 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle A = 10 \tan \ left ({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2R^{2}{\sqrt {5\left (5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\, r^{2}} $A=10\tan \ left ({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2R^{2}{\sqrt {5\left (5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\, r^{2}$

pod względem obwodu r powierzchnia wynosi:

a = 5 sin ⁡ ( π 5 ) R 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃ 2.938926261 R 2 {\displaystyle A = 5 \ sin \ left ({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2} = {\frac{5} {2}}R^{2} {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\, R^{2}} $A=5 \ sin \ left ({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2} = {\frac{5} {2}}R^{2} {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\, R^{2}$

alternatywnym wzorem jest a = 2.5 d A {\displaystyle A = 2.5 da} $A = 2.5da$ gdzie d jest odległością między równoległymi bokami, lub wysokością, gdy dekagon stoi po jednej stronie jako podstawa, lub średnicą okręgu wpisanego dekagonu. Według trygonometrii prostej,

d = 2 A ( cos ⁡ 3 π 10 + cos π π 10 ) , {\displaystyle d=2A\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),} $d=2A\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),$

i można to zapisać algebraicznie jako

d = a 5 + 2 5 . {\displaystyle d=a {\sqrt {5+2 {\sqrt {5}}}}.} ${\displaystyle d = A{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.$

boki

regularny dekagon ma 10 boków i jest równoboczny. Ma 35 przekątnych

konstrukcja

jako 10 = 2 × 5, moc dwa razy fermata PRIM, wynika z tego, że regularny dziesięciokąt można skonstruować za pomocą kompasu i prostego kąta lub przez przecięcie krawędzi pięciokąt regularnego.

Budowa dekagonu

Budowa Pentagonu

alternatywna (ale podobna) metoda jest następująca:

skonstruuj pentagon w okręgu jedną z metod pokazanych w konstruowaniu Pentagonu.
rozciągnij linię od każdego wierzchołka pięciokąta przez środek okręgu do przeciwnej strony tego samego okręgu. Gdzie każda linia przecina okrąg jest wierzchołkiem dziesięciokąta.
pięć narożników pięciokąta stanowi naprzemienne narożniki dekagonu. Połącz te punkty z sąsiednimi nowymi punktami, tworząc dziesięciokąt.

Nie wypukły zwykły dekagon

ta płytka przez złote Trójkąty, regularny pięciokąt, zawiera stelację regularnego dziesięciokąt, którego symbolem Schäfli jest {10/3}.

stosunek długości dwóch nierównych krawędzi złotego trójkąta jest złotym stosunkiem, oznaczonym Φ, {\displaystyle {\text{by}} \ Phi {\text{,}}} ${\text{by}} \ Phi {\text {,}}$ lub jego odwrotność mnożnikowa:

Φ − 1 = 1 Φ = 2 cos ⁡ 72 ∘ = 1 2 cos ⁡ 36 ∘ = 5 − 1 2 . {\displaystyle \ Phi -1={\frac {1} {\Phi }}=2\,\cos 72\,^{\circ} = {\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ}}} ={\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.}}} $\ Phi -1={\frac {1} {\Phi }} = 2\,\cos 72\,^{\circ} = {\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ}}} ={\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.}}$

więc możemy uzyskać właściwości regularnej Gwiazdy dziesięciokątnej, poprzez ułożenie złotych trójkątów, które wypełniają ten wielokąt Gwiazdy.

złoty stosunek w dekagonie

zarówno w konstrukcji o danym obwodzie, jak i o danej długości boku jest złotym stosunkiem dzielącym odcinek linii przez podział zewnętrzny decydujący element konstrukcyjny.

w konstrukcji o danym obwodzie łuk kołowy wokół G o promieniu GE3 tworzy segment AH, którego podział odpowiada współczynnikowi złotemu.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618 . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}} {\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ approx 1.618 {\text{.}}} ${\frac {\overline {AM}} {\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ approx 1.618 {\text{.}}$

w konstrukcji o danej długości boku łuk kołowy wokół D o promieniu DA tworzy segment E10F, którego podział odpowiada proporcji złotej.

E 1 e 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R A = 1 + 5 2 = φ ≈ 1, 618 . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}} {\overline {E_{1} F}}}={\frac {\overline {E_{10} F}} {\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R} {a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ approx 1.618 {\text{.}}} ${\frac {\overline {E_{1}E_{10}}} {\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10} F}} {\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R} {a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\}}$

Dekagon z podanym obrzezaniem, animacja

Dekagon o danej długości boku, animacja

symetria

symetrie regularnego dekagonu. Wierzchołki są zabarwione przez ich położenie symetrii. Niebieskie lustra są rysowane przez wierzchołki, a fioletowe lustra są rysowane przez krawędzie. W centrum wydawane są rozkazy.

regularny dekagon ma symetrię Dih10, rzędu 20. Istnieją 3 symetrie dwuedryczne podgrup: Dih5, Dih2 i Dih1 oraz 4 symetrie grup cyklicznych: Z10, Z5, Z2 i Z1.

te 8 symetrii można zobaczyć w 10 różnych symetriach na dekagonie, większej liczbie, ponieważ linie odbić mogą przechodzić przez wierzchołki lub krawędzie. John Conway etykietuje je listowo i grupowo. Pełna symetria formy regularnej to r20, a żadna symetria nie jest oznaczona a1. Symetrie dwuśrodkowe dzielą się w zależności od tego, czy przechodzą przez wierzchołki (D dla przekątnej), czy krawędzie (p dla prostopadłościanów), a i gdy linie odbicia przechodzą przez obie krawędzie i wierzchołki. Cykliczne symetrie w środkowej kolumnie są oznaczone jako g dla ich centralnych rzędów gyration.

każda podgrupa symetrii pozwala na jeden lub więcej stopni swobody dla nieregularnych form. Tylko podgrupa g10 nie ma stopni swobody, ale może być postrzegana jako skierowane krawędzie.

największą symetrią nieregularnych dekagonów są D10, izogonalny dekagon zbudowany przez pięć zwierciadeł, które mogą zmieniać długie i krótkie krawędzie, i p10, izotoksalny dekagon, zbudowany z jednakowych długości krawędzi, ale wierzchołków naprzemiennie dwóch różnych kątów wewnętrznych. Te dwie formy są dualami siebie i mają połowę porządku symetrii regularnego dziesięciokąta.

rozwarstwienie

10-rzut kostki	40 rozwarstwienie rombu

Coxeter stwierdza, że każdy zonogon (2m-gon, którego przeciwległe boki są równoległe i równej długości) można rozciąć na m (m-1)/2 parallelograms.In szczególnie dotyczy to regularnych wielokątów o równomiernie wielu bokach, w którym to przypadku równoległobok jest rombem. Dla regularnego dziesięciokąt, m=5, i można go podzielić na 10 rombów, z przykładami pokazanymi poniżej. Ten rozkład może być postrzegany jako 10 z 80 twarzy w płaszczyźnie projekcji wielokąta Petriego 5-sześcianu. Rozwarstwienie jest oparte na 10 z 30 twarzy romb triacontahedron. Lista OEIS: A006245 definiuje liczbę rozwiązań jako 62, Z 2 orientacjami dla pierwszej postaci symetrycznej i 10 orientacjami dla drugiej 6.

Dekagon regularny podzielony na 10 rombów
5-sześcian

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

regularny przekrzywiony dekagon jest postrzegany jako zygzakowate krawędzie pentagonalnego antypryzmu, pentagramowego antypryzmu i pentagramowego skrzyżowanego antypryzmu.

skośny dekagon to skośny wielokąt z 10 wierzchołkami i krawędziami, ale nie istniejący na tej samej płaszczyźnie. Wnętrze takiego dekagonu nie jest ogólnie określone. Skośny zygzakowaty dekagon ma wierzchołki naprzemiennie między dwiema równoległymi płaszczyznami.

regularny skośny dekagon jest wierzchołkowo-przechodni o jednakowych długościach krawędzi. W trzech wymiarach będzie to zygzakowaty dekagon i można go zobaczyć w wierzchołkach i krawędziach bocznych pentagonalnego antypryzmu, pentagramowego antypryzmu i pentagramowego skrzyżowanego antypryzmu z tym samym D5d, symetria, porządek 20.

można je również zobaczyć w tych 4 wypukłych wielościanach o symetrii ikosahedralnej. Wielokąty na obwodzie tych rzutów są regularnymi skośnymi dekagonami.

rzuty ortogonalne wielościanu na osiach 5-krotnych
Dodecahedron	Icosahedron	Icosidodecahedron	romb triacontahedron

wielokąt Petriego

regularny przekrzywiony dziesięciokąt jest wielokątem Petriego dla wielu wyższych wymiarów politopów, pokazanym w tych rzutach ortogonalnych w różnych płaszczyznach Coxetera: liczba boków w wielokątu Petriego jest równa liczbie Coxetera, h, dla każdej rodziny symetrii.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-cube

Zob. również

Liczba Dziesięciokątna i wyśrodkowana liczba dziesięciokątna, liczby figuratywne wzorowane na Dekagonie
dekagram, wielokąt Gwiazdy o tej samej pozycji wierzchołka co regularny dekagon

^ A b Sidebotham, Thomas H. (2003), The a to Z of Mathematics: a Basic Guide, John Wiley & Sons, s. 146, ISBN 9780471461630.
^ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595.
^ elementy trygonometrii płaszczyznowej i sferycznej, Towarzystwo Krzewienia wiedzy chrześcijańskiej, 1850, S. 59. Zauważ, że to źródło używa a jako długości krawędzi i podaje argument cotangentu jako kąt w stopniach, a nie w radianach.
^ Ludlow, Henry H. (1904), Geometric Construction of the Regular Decagon and Pentagon Inrited in a Circle, The Open Court Publishing Co..
^ A B Green, Henry (1861), Euclid ’ s Plane Geometry, Books III-VI, Practically Applied, or Gradations in Euclid, Part II, London: Simpkin, Marshall, & CO., s. 116. Uzyskano 10 lutego 2016 r.
^ A B Keller, Jürgen (2005), regularny dziesięciokąt, → 3. sekcja ” Formuły, strona A…”(w języku niemieckim). Retrieved 10 February 2016.
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon PP. 275-278)
^ koseter, mathematical recreations and Essays, Thirteenth edition, P. 141
^ koseter, Regular polytopes, 12.4 Petrie polygon, PP. 223-226.

Weisstein, Eric W. „Decagon”. MathWorld.
Definicja i właściwości dekagonu z interaktywną animacją