 |
hlavní část tohoto článku může být příliš krátká na to, aby dostatečně shrnula klíčové body. Zvažte rozšíření vedení a poskytněte přístupný přehled všech důležitých aspektů článku. (Květen 2019)
|
pravidelný mnohoúhelník
{10}, t{5}
Dihedral (D10), pořadí 2×10
144°
konvexní, cyklický, rovnostranný, izogonální, izotoxický
v geometrii je desetiúhelník (z řeckého δόκα déka A γωνία gonía, „deset úhlů“) desetistranný mnohoúhelník nebo 10-gon. Celkový součet vnitřních úhlů jednoduchého dekagonu je 1440°.
vlastní protínající se pravidelný dekagram je známý jako dekagram.
pravidelný desetiúhelník
pravidelný desetiúhelník má všechny strany stejné délky a každý vnitřní úhel bude vždy roven 144°. Jeho Schläfli symbol je {10} a může být také konstruován jako zkrácený pětiúhelník, t{5}, kvaziregulární dekagon střídající dva typy hran.
Plocha
Plocha pravidelného desetiúhelníku délky strany a je dána:
A = 5 2 a 2 Cott (π 10) = 5 2 a 2 5 + 2 5 ≃ 7.694208843 a 2 {\displaystyle a={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left ({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2} {\sqrt {5+2 {\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\, a^{2}}
pokud jde o apothem r (viz také vepsaný obrázek), plocha je:
A = 10 tan (π 10) r 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle A=10 \ tan \ left ({\frac {\pi }{10}}\right) r^{2}=2r^{2} {\sqrt {5 \ left (5-2{\sqrt {5}}\right)}} \ simeq 3.249196962\, r^{2}}
pokud jde o obvod R, plocha je:
A = 5 sin (π 5) R 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃ 2.938926261 R 2 {\displaystyle A=5 \ sin \ left ({\frac {\pi }{5}}\right) r^{2}={\frac {5}{2}}r^{2} {\sqrt {\frac {5 – {\sqrt {5}}}{2}}}\v 2.938926261\, v^{2}}
alternativní vzorec je a = 2.5 D A {\displaystyle a=2.5 da} 
d = 2 a ( cos 3 π 10 + cos π π 10), {\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}
a může být zapsán algebraicky jako
D = a 5 + 2 5 . {\displaystyle d=a {\sqrt {5+2 {\sqrt {5}}}}.}
strany
pravidelný desetiúhelník má 10 stran a je rovnostranný. Má 35 úhlopříček
konstrukce
jako 10 = 2 × 5, síla dvakrát Fermatova prvočísla, z toho vyplývá, že pravidelný desetiúhelník je konstruovatelný pomocí kompasu a rovného okraje nebo hranami pravidelného pětiúhelníku.
alternativní (ale podobná) metoda je následující:
- Vytvořte pětiúhelník v kruhu jednou z metod ukázaných při konstrukci pětiúhelníku.
- prodlužte čáru z každého vrcholu pětiúhelníku středem kruhu na opačnou stranu téže kružnice. Kde každá čára řeže kružnici, je vrchol desetiúhelníku.
- pět rohů pětiúhelníku tvoří alternativní rohy desetiúhelníku. Připojte tyto body k sousedním novým bodům a vytvořte desetiúhelník.
Nonconvex regular decagon
poměr délky dvou nerovných okrajů Zlatého trojúhelníku je zlatý poměr, označený Φ, {\displaystyle {\text{by }}\Phi {\text{,}}} 
Φ-1 = 1 Φ = 2 cos 72 72 = = 1 2 cos 36 36 = = 5 − 1 2 . {\displaystyle \ Phi -1={\frac {1}{\Phi }}=2\, \ cos 72\,^{\circ }={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} ={\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.}}}
takže můžeme získat vlastnosti pravidelné decagonal hvězdy, přes obklady zlatými trojúhelníky, které vyplňují tento hvězdný mnohoúhelník.
zlatý poměr v dekagonu
jak v konstrukci s daným obvodem, tak s danou délkou strany je zlatý poměr dělící segment čáry vnějším dělením určujícím konstrukčním prvkem.
- v konstrukci s daným obvodem vytváří kruhový oblouk kolem g s poloměrem GE3 segment AH, jehož dělení odpovídá zlatému poměru.
A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1.618 . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}} = {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ cca 1.618 {\text{.{\Displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}} = {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ cca 1.618 {\text{.}}}
- v konstrukci s danou délkou strany vytváří kruhový oblouk kolem D s poloměrem DA segment E10F, jehož dělení odpovídá zlatému poměru.
E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R a = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1.618 . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}} {\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}} = {\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ cca 1.618 {\text{.
symetrie
pravidelný dekagon má symetrii Dih10, řád 20. Existují 3 podskupiny dihedrální symetrie: Dih5, Dih2 a Dih1 a 4 symetrie cyklických skupin: Z10, Z5, Z2 a Z1.
těchto 8 symetrií lze vidět v 10 odlišných symetriích na desetiúhelníku, což je větší počet, protože linie odrazů mohou procházet vrcholy nebo hranami. John Conway je označuje dopisem a skupinovým příkazem. Plná symetrie pravidelného tvaru je r20 a žádná symetrie není označena a1. Dihedrální symetrie se dělí podle toho, zda procházejí vrcholy (d pro úhlopříčku) nebo hranami (p pro kolmice), a i když odrazové čáry procházejí oběma okraji a vrcholy. Cyklické symetrie ve středním sloupci jsou označeny jako g pro jejich centrální gyrační řády.
každá symetrie podskupiny umožňuje jeden nebo více stupňů volnosti pro nepravidelné tvary. Pouze podskupina g10 nemá žádné stupně volnosti, ale může být viděna jako směrované hrany.
nejvyšší symetrické nepravidelné dekagony jsou D10, izogonální dekagon konstruovaný pěti zrcadly, které mohou střídat dlouhé a krátké hrany, a p10, izotoxický dekagon, konstruovaný se stejnými délkami hran, ale vrcholy střídající dva různé vnitřní úhly. Tyto dvě formy jsou navzájem duály a mají polovinu pořadí symetrie pravidelného desetiúhelníku.
pitva
| 10-projekce krychle | 40 disekce kosočtverce | |||
|---|---|---|---|---|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Coxeter uvádí, že každý zonogon (2m-gon, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné a stejné délky) lze rozdělit na m (m-1) / 2 parallelograms.In to platí zejména pro pravidelné mnohoúhelníky s rovnoměrně mnoha stranami, v tomto případě jsou rovnoběžníky všechny kosočtverce. Pro pravidelný dekagon, m=5, a může být rozdělen do 10 kosočtverců, s příklady uvedenými níže. Tento rozklad může být viděn jako 10 z 80 ploch v Petrieho polygonové projekční rovině 5-krychle. Pitva je založena na 10 z 30 tváří kosočtverečného triakontahedronu. Seznam OEI: A006245 definuje počet řešení jako 62, se 2 orientacemi pro první symetrickou formu a 10 orientacemi pro ostatní 6.
 5-cube |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Skew decagon
| {5}#{ } | {5/2}#{ } | {5/3}#{ } |
|---|---|---|
 |
 |
 |
| na rozdíl od antiprizmu, který se používá jako antiprizmus, je tento antiprizmus často používán jako antiprizmus. | ||
šikmý dekagon je šikmý mnohoúhelník s 10 vrcholy a hranami, ale neexistuje ve stejné rovině. Interiér takového dekagonu není obecně definován. Šikmý cik-cak decagon má vrcholy střídající se mezi dvěma rovnoběžnými rovinami.
pravidelný šikmý desetiúhelník je vrcholově tranzitivní se stejnými délkami hran. Ve 3-dimenzích to bude cik-cak šikmý desetiúhelník a může být viděn ve vrcholech a bočních okrajích pětiúhelníkového antiprismu, pentagrammického antiprismu a pentagrammického zkříženého antiprismu se stejným D5d, symetrií, řádem 20.
tyto lze také vidět v těchto 4 konvexních polyhedrách s ikosahedrální symetrií. Polygony na obvodu těchto projekcí jsou pravidelné šikmé dekagony.
 Dodecahedron |
 Icosahedron |
 Icosidodecahedron |
 kosočtverečný triakontahedron |
Petrie polygony
pravidelný šikmý dekagon je Petrie polygon pro mnoho vyšších dimenzionálních polytopů, zobrazených v těchto ortogonálních projekcích v různých rovinách Coxeteru: počet stran v Petrieho polygonu se rovná Coxeterovu číslu, h, pro každou rodinu symetrií.
| A9 | D6 | B5 | ||
|---|---|---|---|---|
 9-simplex |
 411 |
 131 |
 5-orthoplex |
5-kostka |
Viz také
- Decagon number and centred Decagon number, figurate numbers modeled on the decagon
- Decagram, hvězdný mnohoúhelník se stejnými polohami vrcholu jako pravidelný desetiúhelník
- ^ a B Sidebotham, Thomas H. (2003), A až z matematiky: základní průvodce, John Wiley & synové, s. 146, ISBN 9780471461630.
- ^ Wenninger, Magnus J. (1974), mnohostěnné modely, Cambridge University Press, s. 9, ISBN 9780521098595.
- ^ prvky rovinné a sférické trigonometrie, společnost pro podporu křesťanského poznání, 1850, s. 59. Všimněte si, že tento zdroj používá jako délku hrany a dává argument kotangentu jako úhel ve stupních spíše než v radiánech.
- ^ Ludlow, Henry H. (1904), geometrická konstrukce pravidelného Desetiúhelníku a pětiúhelníku vepsaného do kruhu, The Open Court Publishing Co..
- ^ a B Green, Henry (1861), Euclidova geometrie roviny, knihy III-VI, prakticky aplikované, nebo gradace v Euclidu, Část II, Londýn: Simpkin, Marshall,& CO., s. 116. Retrieved 10 February 2016.
- ^ a B Koeller, Jurgen (2005), pravidelný desátník, Bangladesh 3. část “ vzorce, je uveden na straně a …“(v němčině). Retrieved 10 February 2016.
- ^ John H.Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) the Symetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitola 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symetry of a polygon PP. 275-278)
- ^ Coxeter, Mathematical recreations and essays, Thirteenth Edition, p. 141
- ^ Coxeter, regular polytopes, 12.4 Petrie Polygon, PP. 223-226.
- Weisstein, Eric W. „Decagon“. MathWorld.
- definice a vlastnosti desetiúhelníku s interaktivní animací