Decagon

den här artikelns huvudsektion kan vara för kort för att på ett adekvat sätt sammanfatta de viktigaste punkterna. Överväg att utöka ledningen för att ge en tillgänglig översikt över alla viktiga aspekter av artikeln. (Maj 2019)

regelbunden decagon

en vanlig decagon

Typ

vanlig polygon

kanter och hörn

Schl

{10}, t{5}

Coxeter-Dynkin diagram

symmetri grupp

Dihedral (D10), ordning 2×10

inre vinkel (grader)

144°

egenskaper

konvex, cyklisk, liksidig, isogonal, isotoxal

i geometri är en dekagon (från den grekiska Macau D. A. C. och G. A. G. C. C., ”tio vinklar”) en tiosidig polygon eller 10-gon. Den totala summan av de inre vinklarna för en enkel dekagon är 1440 kcal.

en självkorsande vanlig decagon är känd som ett decagram.

vanlig decagon

en vanlig decagon har alla sidor av samma längd och varje inre vinkel kommer alltid att vara lika med 144 kcal. Dess Schl Excepifli-symbol är {10} och kan också konstrueras som en stympad femkant, T{5}, en kvasiregulär decagon som alternerar två typer av kanter.

område

området för en vanlig decagon av sidolängd a Ges av:

a = 5 2 a 2 cot 2 (10) = 5 2 a 2 5 + 2 5 7,694208843 a 2 {\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \vänster({\frac {\pi }{10}}\höger)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\, a^{2}} $A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \ vänster ({\frac {\pi }{10}} \ höger) = {\frac {5}{2}}a^{2} {\sqrt {5 + 2 {\sqrt {5}}}} \ simeq 7.694208843\, a^{2}$

när det gäller apothem r (se även inskriven figur) är området:

A = 10 solbränna (10 10) r 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle a=10\tan \vänster ({\frac {\pi }{10}} \ höger)r^{2} = 2R^{2} {\sqrt {5 \ vänster (5-2 {\sqrt {5}} \ höger)}} \ simeq 3.249196962\, r^{2}} $A=10 \tan \ vänster ({\frac {\pi }{10}} \ höger) r^{2}=2R^{2}{\sqrt {5\vänster(5-2{\sqrt {5}}\höger)}}\simeq 3.249196962\, r^{2}$

när det gäller circumradius R är området:

A = 5 sin 2 ( 5 5 ) r 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 2,938926261 r 2 {\displaystyle A=5\sin \vänster({\frac {\pi }{5}}\höger) r^{2}={\frac {5}{2}}r^{2} {\sqrt {\frac {5 – {\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\, R^{2}} $A = 5 \sin \ vänster ({\frac {\pi }{5}} \ höger)r^{2}={\frac {5}{2}}r^{2} {\sqrt {\frac {5 - {\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\, R^{2}$

en alternativ formel är A = 2,5 d A {\displaystyle A=2,5 da} $A=2.5da$ där d är avståndet mellan parallella sidor, eller höjden när decagon står på ena sidan som bas, eller diametern på decagons inskrivna cirkel. Genom enkel trigonometri,

d = 2 a ( cos 6cyli 10 + cos 10 ) , {\displaystyle d=2a\vänster(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\höger),} $d=2a\vänster(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),$

och det kan skrivas algebraiskt som

d = a 5 + 2 5 . {\displaystyle d=a {\sqrt {5 + 2{\sqrt {5}}}}.} $d=A {\sqrt {5 + 2{\sqrt {5}}}}.$

sidor

en vanlig decagon har 10 sidor och är liksidig. Den har 35 diagonaler

Konstruktion

som 10 = 2 6cb, en effekt av två gånger en Fermat prime, det följer att en vanlig decagon är konstruerbar med hjälp av kompass och straightedge, eller genom en kant-bisection av en vanlig femkant.

konstruktion av decagon

konstruktion av pentagon

en alternativ (men liknande) metod är följande:

konstruera en femkant i en cirkel med en av metoderna som visas vid konstruktion av en femkant.
förläng en linje från varje toppunkt i femkanten genom mitten av cirkeln till motsatt sida av samma cirkel. Där varje linje skär cirkeln är ett toppunkt av decagon.
femkantens fem hörn utgör alternativa hörn av decagon. Gå med i dessa punkter till de intilliggande nya punkterna för att bilda decagon.

Nonconvex vanlig decagon

denna kakel med gyllene trianglar, en vanlig femkant, innehåller en stellation av vanlig decagon, vars Schautorifli-symbol är {10/3}.

längd kvoten av två denna orättvisa kanterna av en gyllene triangel ligger det gyllene snittet, betecknas med Φ , {\displaystyle {\text{av }}\Phi {\text{,}}} ${\text{av }}\Phi {\text{,}}$ eller dess multiplikativa inversen:

Φ − 1 = 1 Φ = 2 cos ⁡ 72 ∘ = 1 2 cos ⁡ 36 ∘ = 5 − 1 2 . {\displaystyle \ Phi -1={\frac {1} {\Phi }} = 2\, \ cos 72\,^{\circ } = {\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} = {\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.}}} $\ Phi -1={\frac {1} {\Phi }} = 2\, \ cos 72\,^{\circ } = {\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} = {\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.}}$

så vi kan få egenskaperna hos en vanlig decagonal stjärna, genom en kakel med gyllene trianglar som fyller denna stjärnpolygon.

det gyllene snittet i decagon

både i konstruktionen med given circumcircle såväl som med given sidolängd är det gyllene snittet som delar ett linjesegment genom yttre uppdelning det avgörande konstruktionselementet.

i konstruktionen med given circumcircle producerar cirkelbågen runt G med radie GE3 segmentet AH, vars uppdelning motsvarar det gyllene förhållandet.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = 1,618 XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX XNUMX . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}} {\overline {MH}}} = {\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}}} = {\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ ca 1.618 {\text{.}}} ${\frac {\overline {AM}} {\overline {MH}}} = {\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}}} = {\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ ca 1.618 {\text{.}}$

i konstruktionen med given sidolängd producerar den cirkulära bågen runt D med radie DA segmentet E10F, vars uppdelning motsvarar det gyllene förhållandet.

E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 e 10 = r a = 1 + 5 2 = 1,618 xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx xnumx . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}e_{10}}} {\overline {E_{1}F}}} = {\frac {\overline {E_{10}F}} {\overline {E_{1}e_{10}}} = {\frac {R}{A}} = {\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ ca 1.618 {\text{.}}} ${\overline {\overline {E_{1} e_ {10}}} {\overline {E_ {1} F}}} = {\overline {E_ {10} F}} {\overline {E_{1} e_ {10}}} = {\frac {r} {A}} = {\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ approachx 1.618 {\Te Te}}}$

Decagon med given circumcircle, animering

Decagon med en given sidolängd, animering

symmetri

symmetrier av en vanlig decagon. Hörn är färgade av deras symmetripositioner. Blå speglar dras genom hörn och lila speglar dras genom kanter. Gyration order ges i mitten.

den vanliga decagon har Dih10 symmetri, Ordning 20. Det finns 3 undergruppsdiedriska symmetrier: Dih5, Dih2 och Dih1 och 4 cykliska gruppsymmetrier: Z10, Z5, Z2 och Z1.

dessa 8 symmetrier kan ses i 10 distinkta symmetrier på decagon, ett större antal eftersom reflektionslinjerna antingen kan passera genom hörn eller kanter. John Conway märker dessa med ett brev och grupporder. Full symmetri av den vanliga formen är r20 och ingen symmetri är märkt a1. De dihedrala symmetrierna är uppdelade beroende på om de passerar genom hörn (d för diagonal) eller kanter (p för perpendikulär) och i när reflektionslinjer går genom båda kanterna och hörn. Cykliska symmetrier i mittkolonnen är märkta som g för deras centrala gyrationsorder.

varje undergruppssymmetri tillåter en eller flera frihetsgrader för oregelbundna former. Endast G10-undergruppen har inga frihetsgrader men kan ses som riktade kanter.

den högsta symmetrin oregelbundna dekagoner är d10, en isogonal dekagon konstruerad av fem speglar som kan alternera långa och korta kanter, och p10, en isotoxal dekagon, konstruerad med lika kantlängder, men hörn alternerande två olika inre vinklar. Dessa två former är dualer av varandra och har halva symmetriordningen för den vanliga decagonen.

dissektion

10-kub projektion	40 romb dissektion

Coxeter säger att varje zonogon (en 2m-gon vars motsatta sidor är parallella och lika långa) kan dissekeras till m (m-1)/2 parallelograms.In särskilt detta gäller för vanliga polygoner med jämnt många sidor, i vilket fall parallellogrammen är alla rhombi. För den vanliga decagon, m = 5, och den kan delas in i 10 romber, med exempel som visas nedan. Denna sönderdelning kan ses som 10 av 80 ansikten i ett Petrie polygonprojektionsplan för 5-kuben. En dissektion är baserad på 10 av 30 ansikten av den rombiska triakontahedronen. Listan OEIS: A006245 definierar antalet lösningar som 62, med 2 orienteringar för den första symmetriska formen och 10 orienteringar för den andra 6.

vanlig decagon dissekerad till 10 rhombi
5-kub

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

en vanlig skev decagon ses som sicksackande kanter av en femkantig antiprism, en pentagrammisk antiprism och en pentagrammisk korsad antiprism.

en skev decagon är en skev polygon med 10 hörn och kanter men inte existerande på samma plan. Interiören i en sådan decagon är inte generellt definierad. En skev sicksack decagon har hörn som växlar mellan två parallella plan.

en vanlig skev decagon är vertex-transitiv med lika kantlängder. I 3-dimensioner kommer det att vara en sicksack skev decagon och kan ses i hörn och sidokanter av en femkantig antiprism, pentagrammisk antiprism och pentagrammisk korsad antiprism med samma D5d, symmetri, Ordning 20.

dessa kan också ses i dessa 4 konvexa polyeder med icosahedral symmetri. Polygonerna på omkretsen av dessa utsprång är vanliga skeva dekagoner.

ortogonala utsprång av polyeder på 5-faldiga axlar
dodekaeder	ikosaeder	Icosidodecahedron	rombisk triakontaeder

Petrie polygoner

den vanliga skeva decagon är Petrie polygon för många högre dimensionella polytoper, visas i dessa ortogonala utsprång i olika Coxeter plan: antalet sidor i Petrie polygon är lika med Coxeter nummer, h, för varje symmetri familj.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-kub

se även

Decagonal tal och centrerat decagonal tal, figurnummer modellerade på decagon
Decagram, en stjärnpolygon med samma vertexpositioner som den vanliga decagon

^ a b Sidebotham, Thomas H. (2003), A till Z i matematik: en grundläggande Guide, John Wiley & Sons, S. 146, ISBN 9780471461630.
^ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyedermodeller, Cambridge University Press, S. 9, ISBN 9780521098595.
^ elementen i plan och sfärisk trigonometri, samhället för att främja Kristen kunskap, 1850, s. 59. Observera att denna källa använder A som kantlängd och ger argumentet för cotangenten som en vinkel i grader snarare än i radianer.
^ Ludlow, Henry H. (1904), geometrisk konstruktion av den vanliga Decagon och Pentagon inskriven i en cirkel, Open Court Publishing Co..
^ A B Green, Henry (1861), Euclids Plangeometri, böcker III–VI, praktiskt tillämpade eller graderingar i Euclid, del II, London: Simpkin, Marshall,& CO., S. 116. Hämtad 10 Februari 2016.
^ a b K Obbller, J Obbirgen (2005), vanlig decagon, 3: e avsnittet i 3: e avsnittet ”formler, sida A ges…”(på tyska). Hämtad 10 Februari 2016.
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) sakernas symmetrier, ISBN 978-1-56881-220-5 (Kapitel 20, generaliserade schaefli-symboler, typer av symmetri av en polygon s.275-278)
^ Coxeter, matematiska rekreationer och uppsatser, trettonde upplagan, s.141
^ coxeter, vanliga polytoper, 12.4 Petrie Polygon, s. 223-226.

Weisstein, Eric W.”Decagon”. MathWorld.
Definition och egenskaper hos en decagon med interaktiv animering