Decagon

a cikk vezető szakasza túl rövid lehet ahhoz, hogy megfelelően összefoglalja a legfontosabb pontokat. Kérjük, fontolja meg az ólom bővítését, hogy hozzáférhető áttekintést nyújtson a cikk minden fontos szempontjáról. (Május 2019)

rendszeres dekagon

a szabályos tízszög

Típus

Szabályos sokszög

szélek és csúcsok

Schl

{10}, t{5}

Coxeter-Dynkin diagramok

szimmetria csoport

Dihedrális (D10), sorrend 2×10

belső szög (fok)

144°

tulajdonságok

konvex, ciklikus, egyenlő oldalú, izogonális, izotoxális

a geometriában a tízszög (görögül: “tíz szög”) egy tízoldalas sokszög vagy 10 gon. Egy egyszerű tízszög belső szögeinek teljes összege 1440 Ft.

az önmetsző szabályos dekagont dekagramnak nevezzük.

szabályos tízszög

a szabályos tízszögnek minden oldala egyenlő hosszúságú, és minden belső szög mindig 144 Kb. A Schl Pcsfli szimbóluma {10}, és csonka ötszögként is felépíthető, t{5}, egy kvázireguláris dekagon, amely kétféle éleket vált fel.

terület

az a oldalhosszúságú szabályos tízszög területét a következő adja meg:

a = 5 2 a 2 gyermekágy ( 10) = 5 2 a 2 5 + 2 5 694208843 a 2 {\displaystyle a = {\frac {5}{2}}a^{2}\cot \balra({\frac {\pi }{10}}\jobbra)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\, a^{2}} $a={\frac {5}{2}}a^{2} \ cot \ balra ({\FRAC {\pi }{10}}\jobbra)={\frac {5}{2}}a^{2} {\sqrt {5+2 {\sqrt {5}}}}}\simeq 7.694208843\, a^{2}$

az apothem r (Lásd még a beírt ábrát) szempontjából a terület:

A = 10 tan ( 10) r 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle a=10 \tan \ balra ({\frac {\pi }{10}} \ jobbra) r^{2}=2R^{2} {\sqrt {5 \ balra (5-2{\sqrt {5}}\jobbra)}} \ simeq 3.249196962\, r^{2}} $a=10 \tan \ left ({\frac {\pi }{10}}\right) r^{2}=2R^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\, r^{2}$

a circumradius R szempontjából a terület:

A = 5 sin 6 ( 5) r 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 6.938926261 R 2 {\displaystyle a=5 \sin \ balra ({\frac {\pi }{5}}\jobbra) r^{2} = {\frac {5}{2}}R^{2} {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\, R^{2}} $a=5 \ sin \ left ({\frac {\pi }{5}} \ right) r^{2} = {\frac {5}{2}}R^{2} {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\, R^{2}$

egy alternatív képlet a = 2,5 d a {\displaystyle a=2,5 da} $a=2.5da$ ahol d a párhuzamos oldalak közötti távolság, vagy az a magasság, amikor a dekagon alapként az egyik oldalon áll, vagy a dekagon beírt körének átmérője. Egyszerű trigonometriával:

d = 2 a ( cos {\tfrac {3\pi} {10}}), {\displaystyle d=2a\bal (\cos {\tfrac {3\pi }{10}} + \cos {\tfrac {\pi} {10}}\jobb),} $d=2a\bal (\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi} {10}} \ right),$

és algebrailag így írható:

d = a 5+2 5 . {\displaystyle d = a {\sqrt {5 + 2 {\sqrt {5}}}}.} $d=a {\sqrt {5 + 2 {\sqrt {5}}}}.$

oldalak

a szabályos tízszögnek 10 oldala van, egyenlő oldalú. 35 átlója van

Építés

mint 10 = 2 6db 5, a Fermat-prím kétszerese, ebből következik, hogy egy szabályos tízszög felépíthető iránytű és egyenes vonal segítségével, vagy egy szabályos ötszög élfelezésével.

a decagon építése

a pentagon építése

egy alternatív (de hasonló) módszer a következő:

építsen egy ötszöget egy körben az ötszög felépítésében bemutatott módszerek egyikével.
húzzon ki egy vonalat az ötszög minden csúcsától a kör közepén keresztül ugyanazon kör ellentétes oldaláig. Ahol minden vonal elvágja a kört, az a dekagon csúcsa.
az ötszög öt sarka a tízszög alternatív sarkait alkotja. Csatlakoztassa ezeket a pontokat a szomszédos Új pontokhoz a dekagon kialakításához.

nem konvex normál dekagon

ez a csempézés arany háromszögekkel, szabályos ötszög, tartalmaz egy szabályos tízszög csillagképét ,amelynek Sch-je 60/3}.

A hossz arány a két egyenlőtlen széleit egy arany háromszög az aranymetszés, amelyet Φ , {\displaystyle {\text{azzal }}\Phi {\szöveget{,}}} ${\text{azzal }}\Phi {\text{,}}$ vagy a multiplikatív inverz:

Φ − 1 = 1 Φ = 2 mert ⁡ 72 fok legyen = 1 2 mert ⁡ 36 fok legyen = 5 − 1 2 . {\displaystyle \ Phi -1 = {\frac {1} {\Phi }}=2\, \ cos 72\,^{\circ } ={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} = {\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\szöveg{.}}} $\ Phi -1 = {\frac {1} {\Phi }} = 2\, \ cos 72\,^{\circ } ={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} = {\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\szöveg{.}}$

tehát megkaphatjuk egy szabályos tízszögletű csillag tulajdonságait egy arany háromszögek csempézésével, amely kitölti ezt a csillag sokszöget.

az aranyarány dekagonban

mind az adott körülírt, mind az adott oldalhosszúságú konstrukcióban az aranyarány, amely egy vonalszakaszt külső osztással oszt meg, a meghatározó szerkezeti elem.

az adott körülmetéléssel ellátott konstrukcióban a G körüli körív GE3 sugárral az AH szegmenst hozza létre, amelynek osztása megfelel az aranyaránynak.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = 6,618 . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}} = {\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}}} = {\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ KB 1.618 {\szöveg{.}}} ${\frac {\overline {AM}} {\overline {MH}}} = {\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}}} = {\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ KB 1.618 {\szöveg{.}}$

az adott oldalhosszúságú konstrukcióban a D körüli körív DA sugárral az E10F szegmenst hozza létre, amelynek osztása megfelel az aranyaránynak.

E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R a = 1 + 5 2 = 1,618. {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}e_{10}}} {\overline {E_{1} F}}}={\frac {\overline {E_{10} F}} {\overline {E_{1} e_{10}}}}} = {\frac {R}{a}}={\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ KB 1.618 {\szöveg{.}}} ${\overline {\overline {E_{1} e_ {10}}} {\overline {E_ {1} F}}}={\overline {E_ {10} F}} {\overline {E_{1} e_ {10}}}}} = {\frac {r} {a}}={\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ approachx 1.618}}}$

Dekagon adott körülmetéléssel, animáció

Dekagon egy adott oldalhosszal, animáció

szimmetria

a szabályos dekagon Szimmetriái. A csúcsokat szimmetriapozícióik színezik. A kék tükröket a csúcsokon, a lila tükröket pedig az éleken húzzák. A Gyration megrendeléseket a központban adják meg.

a szabályos dekagon Dih10 szimmetriával rendelkezik, 20.sorrend. 3 alcsoport dihedrális szimmetriája van: Dih5, Dih2 és Dih1, és 4 ciklikus csoport szimmetriája: Z10, Z5, Z2 és Z1.

ez a 8 szimmetria 10 különálló szimmetriában látható a dekagonon, nagyobb számban, mert a visszaverődések vonalai áthaladhatnak csúcsokon vagy éleken. John Conway ezeket levélben és csoportos megrendeléssel címkézi. A szabályos forma teljes szimmetriája r20, és nincs szimmetria A1 jelöléssel. A dihedrális szimmetriák megoszlanak attól függően, hogy átmennek-e csúcsokon (d átlós) vagy éleken (p merőlegesek), és i amikor a reflexiós vonalak mindkét élen és csúcson haladnak át. A középső oszlop ciklikus szimmetriáit g-vel jelöljük központi girációs sorrendjükre.

minden alcsoport szimmetriája egy vagy több szabadságfokot tesz lehetővé a szabálytalan formák számára. Csak a g10 alcsoportnak nincs szabadságfoka, de irányított éleknek tekinthető.

a legmagasabb szimmetriájú szabálytalan dekagonok a d10, egy izogonális dekagon, amelyet öt tükör alkot, amelyek hosszú és rövid éleket válthatnak, és a p10, egy izotoxális dekagon, amely egyenlő élhosszúságú, de csúcsai két különböző belső szöget váltakoznak. Ez a két forma egymás kettőse, és a szabályos tízszög szimmetriarendjének fele van.

boncolás

10-kocka vetítés	40 rombusz boncolás

Coxeter kijelenti, hogy minden zonogon(egy 2M-gon, amelynek ellentétes oldalai párhuzamosak és azonos hosszúságúak) M (m-1)/2-re bontható parallelograms.In különösen igaz ez az egyenletesen sok oldalú szabályos sokszögekre, ebben az esetben a paralelogrammok mind rombusok. A szabályos tízszög esetében m=5, és 10 rombuszra osztható, az alábbi példákkal. Ez a bomlás úgy tekinthető 10 nak,-nek 80 arcok a Petrie sokszög vetítési síkja az 5-kocka. A boncolás alapja 10 nak, – nek 30 a rombikus triakontaéder arcai. A lista OEIS: Az a006245 a megoldások számát 62-ként határozza meg, az első szimmetrikus alakra 2 orientációval, a másikra pedig 10 orientációval 6.

szabályos dekagon 10 rombuszra boncolva
5-kocka

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

a szabályos ferde dekagon az ötszögű antiprizmus, a ötszögű antiprizmus és a pentagrammikus keresztezett antiprizmus cikk-cakk széleinek tekinthető.

a ferde tízszög egy ferde sokszög, amelynek 10 csúcsa és éle van, de nem létezik ugyanazon a síkon. Az ilyen dekagon belseje általában nincs meghatározva. A ferde cikk-cakk dekagon csúcsai váltakoznak két párhuzamos sík között.

a szabályos ferde tízszög csúcstranzitív, egyenlő élhosszúságú. 3 dimenzióban cikk-cakk ferde dekagon lesz, és látható egy ötszögletű antiprizmus, ötszögletű antiprizmus és ötszögletű keresztezett antiprizmus csúcsaiban és oldalszéleiben, ugyanazzal a D5d-vel, szimmetriával, 20-as sorrendben.

ezek is láthatók ebben a 4 konvex poliéderben, ikozaéderes szimmetriával. Ezeknek a vetületeknek a kerületén lévő sokszögek szabályos ferde dekagonok.

poliéderek ortogonális vetületei 5-szeres tengelyeken
dodekaéder	ikozaéder	Ikozidodekaéder	Rombikus triakontaéder

Petrie sokszögek

a szabályos ferde tízszög a Petrie sokszög sok magasabb dimenziós politópok esetében, amelyeket ezekben az ortogonális vetületekben mutatnak be különböző Coxeter síkokban: a Petrie sokszög oldalainak száma megegyezik a Coxeter-számmal, h, minden szimmetriacsaládra.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-kocka

Lásd még:

Tízszögszám és középpontos tízszögszám, a tízszögre modellezett ábrás számok
dekagram, egy csillag sokszög, amelynek csúcsa megegyezik a szabályos tízszögével

^ A b Sidebotham, Thomas H. (2003), a matematika A-tól Z-ig: Alapvető útmutató, John Wiley & fiai, p. 146, ISBN 9780471461630.
^ Wenninger, Magnus J. (1974), poliéder modellek, Cambridge University Press, 9. o., ISBN 9780521098595.
^ a sík és gömb alakú trigonometria elemei, Társaság a keresztény tudás előmozdításáért, 1850, 59. o. Vegye figyelembe, hogy ez a forrás élhosszként a-t használ, és a kotangens Argumentumát fokokban, nem pedig radiánban adja meg.
^ Ludlow, Henry H. (1904), a körbe írt szabályos Tízszög és ötszög Geometriai felépítése, Az Open Court Publishing Co..
^ A B Green, Henry (1861), Euklidész Síkgeometriája, Könyvek III–VI, gyakorlatilag alkalmazott, vagy fokozatok Euklidészben, II.rész, London: Simpkin, Marshall,& CO., p. 116. Lekért 10 Február 2016.
^ a b K Xhamller, J Xhamrgen (2005), szabályos tízszög, 3.számú szakasz “képletek, az a Oldal meg van adva…”(németül). Lekért 10 Február 2016.
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) a dolgok Szimmetriái, ISBN 978-1-56881-220-5 (20.fejezet, általánosított Schaefli szimbólumok, a sokszög szimmetriájának típusai PP.275-278)
^ Coxeter, matematikai recreations and Essays, tizenharmadik kiadás, p. 141
^ Coxeter, szabályos Politópok, 12,4 Petrie sokszög, 223-226.

Weisstein, Eric W. “Decagon”. MathWorld.
a dekagon meghatározása és tulajdonságai interaktív animációval