Decagon

de lead sectie van dit artikel kan te kort zijn om de belangrijkste punten adequaat samen te vatten. Overweeg het uitbreiden van de lead om een toegankelijk overzicht van alle belangrijke aspecten van het artikel te bieden. (Mei 2019)

regelmatige veelhoek

{10}, t{5}

v-stelling (D10), om 2×10

144°

Bolle, cyclische, gelijkzijdige, isogonale, isotoxal

In de meetkunde een decagon (van het griekse δέκα déka en γωνία gonía, “tien hoeken”) is een tien-zijdig polygoon of 10-gon. De totale som van de inwendige hoeken van een eenvoudige decagon is 1440°.

een zelfsnijdende regelmatige decagon staat bekend als een decagram.

regelmatige decagon

een regelmatige decagon heeft alle zijden van gelijke lengte en elke inwendige hoek zal altijd gelijk zijn aan 144°. Het Schläfli-symbool is {10} en kan ook worden geconstrueerd als een afgeknotte Vijfhoek, t{5}, een quasiregular decagon die twee soorten randen afwisselt.

oppervlakte

de oppervlakte van een regelmatige diagonaal met zijdelengte a wordt gegeven door:

a = 5 2 a 2 cot ⁡ ( π 10) = 5 2 a 2 5 + 2 5 ≃ 7.694208843 a 2 {\displaystyle A={\frac {5}{2}} a^{2} \ cot \ left ({\frac {\pi }{10}} \ right) = {\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,een^{2}}

In termen van de apothem r (zie ook ingeschreven figuur), het gebied is:

A = 10 tan ⁡ ( π 10 ) r 2 = r 2 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}}

In termen van de circumradius R, het gebied is:

A = 5 sin ⁡ ( π 5 ) R 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃ 2.938926261 R 2 {\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}}

Een alternatieve formule is A = 2.5 d a {\displaystyle A=2.5 da} waarbij d de afstand is tussen evenwijdige zijden, of de hoogte wanneer de diagonaal aan één zijde staat als basis, of de diameter van de ingegraveerde cirkel van de diagonaal. Door eenvoudige trigonometrie,

d = 2 a ( cos 3 3 π 10 + cos π π 10 ) , {\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}

en het kan algebraisch geschreven worden als

d = a 5 + 2 5 . {\displaystyle d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.}

zijden

een regelmatige diagonaal heeft 10 zijden en is gelijkzijdig. Het heeft 35 diagonalen

constructie

als 10 = 2 × 5, een macht van twee keer een Fermat priemgetal.

bouw van decagon

bouw van Vijfhoek

een alternatieve (maar vergelijkbare) methode is als volgt::

1. construeer een vijfhoek in een cirkel volgens een van de methoden die worden getoond bij het construeren van een vijfhoek.
2. strek een lijn van elk hoekpunt van het Vijfhoek door het midden van de cirkel naar de andere kant van diezelfde cirkel. Waar elke lijn de cirkel snijdt is een hoekpunt van de decagon.
3. de vijf hoeken van het Vijfhoek vormen afwisselende hoeken van de diagonaal. Voeg deze punten aan de aangrenzende nieuwe punten om de decagon te vormen.

regelmatige decagon zonder Convex

deze tegel met gouden driehoeken, een regelmatige vijfhoek, bevat een ster van regelmatige decagon, waarvan het Schäfli symbool {10/3} is.

de lengteverhouding van twee ongelijke randen van een gouden driehoek is de gulden snede, aangeduid door Φ, {\displaystyle {\text{by }}\Phi {\text{,}}} of de multiplicatieve inverse:

Φ-1 = 1 Φ = 2 cos 72 72 ∘ = 1 2 cos 36 36 ∘ = 5-1 2 . {\displaystyle \ Phi -1={\frac {1}{\Phi }} = 2\, \ cos 72\,^{\circ } = {\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} = {\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\tekst{.}}}

zodat we de eigenschappen van een regelmatige tienhoekige ster kunnen krijgen, door een tegel met gouden driehoeken die deze ster veelhoek vult.

de gulden snede in decagon

zowel in de constructie met een gegeven omtrek als met een gegeven zijlengte is de gulden snede die een lijnsegment deelt door externe deling het bepalende bouwelement.

• in de constructie met een gegeven omtrek produceert de cirkelboog rond G met straal GE3 het segment AH, waarvan de deling overeenkomt met de gulden snede.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618 . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}} = {\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}} = {\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ approx 1.618{\text{.}}}

• In de constructie met een gegeven zijlengte produceert de cirkelboog rond D met straal DA het segment E10F, waarvan de verdeling overeenkomt met de gulden snede.

E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R a = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1.618 . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}} = {\frac {R}{a}}={\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ approx 1.618{\text{.}}}

Decagon met gegeven omtrek, animatie

Decagon met een bepaalde zijlengte, animatie

symmetrie

symmetrieën van een regelmatige decagon. Hoekpunten zijn gekleurd door hun symmetrie posities. Blauwe spiegels worden getekend door hoekpunten, en paarse spiegels worden getekend door randen. Gyration orders worden gegeven in het centrum.

de gewone decagon heeft Dih10 symmetrie, orde 20. Er zijn 3 subgroepen dihedrale symmetrieën: Dih5, Dih2 en Dih1, en 4 cyclische groepssymmetrieën: Z10, Z5, Z2 en Z1.

deze 8 symmetrieën zijn te zien in 10 verschillende symmetrieën op de diagonaal, een groter aantal omdat de lijnen van reflecties door hoekpunten of randen kunnen gaan. John Conway labelt deze met een letter en een groepsorder. Volledige symmetrie van de reguliere vorm is r20 en geen symmetrie wordt aangeduid als a1. De dihedrale symmetrieën worden verdeeld afhankelijk van of ze door hoekpunten (D Voor diagonaal) of randen (p voor loodlijnen) gaan, en i wanneer reflectielijnen door zowel randen als hoekpunten lopen. Cyclische symmetrieën in de middelste kolom zijn gelabeld als g voor hun centrale gyratie orders.

elke subgroepsymmetrie biedt een of meer vrijheidsgraden voor onregelmatige vormen. Alleen de G10 subgroep heeft geen vrijheidsgraden, maar kan gezien worden als gerichte randen.

de hoogste symmetrie onregelmatige decagonen zijn d10, een isogonale decagon geconstrueerd door vijf spiegels die lange en korte randen kunnen afwisselen, en p10, een isotoxische decagon, geconstrueerd met gelijke randlengtes, maar hoekpunten afwisselend twee verschillende inwendige hoeken. Deze twee vormen zijn dualen van elkaar en hebben de helft van de symmetrie orde van de regelmatige decagon.

dissectie

10-kubus projectie	40 ruit dissectie

Coxeter stelt dat elke zonogon (een 2m-gon waarvan de tegenoverliggende zijden evenwijdig en van gelijke lengte zijn) kan worden ontleed in m (m-1) / 2 parallelograms.In dit geldt met name voor regelmatige veelhoeken met gelijkmatig vele zijden, in welk geval de parallelogrammen allemaal rhombi zijn. Voor de regelmatige decagon, m=5, en het kan worden onderverdeeld in 10 ruiten, met voorbeelden hieronder. Deze ontleding kan gezien worden als 10 van de 80 vlakken in een Petrie polygoon projectievlak van de 5-kubus. Een dissectie is gebaseerd op 10 van de 30 gezichten van de rhombische triacontaëder. De lijst OEIS: A006245 definieert het aantal oplossingen als 62, met 2 oriëntaties voor de eerste symmetrische vorm, en 10 oriëntaties voor de andere 6.

regelmatige decagon ontleed in 10 rhombi

5-kubus

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons

{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
een regelmatige scheve decagon wordt gezien als zig-zaggende randen van een pentagonaal antiprisma, een pentagrammisch antiprisma en een pentagrammisch gekruist antiprisma.

een scheve decagon is een scheve veelhoek met 10 hoekpunten en randen, maar niet op hetzelfde vlak. Het interieur van zo ‘ n decagon is niet algemeen gedefinieerd. Een scheve zig-zag decagon heeft hoekpunten afwisselend tussen twee parallelle vlakken.

een regelmatige schuine decagon is vertex-transitief met gelijke randlengtes. In 3-dimensies zal het een zig-zag schuine decagon zijn en kan worden gezien in de hoekpunten en zijranden van een pentagonaal antiprisma, pentagrammisch antiprisma en pentagrammisch gekruist antiprisma met dezelfde D5D, symmetrie, orde 20.

deze zijn ook te zien in deze 4 convexe veelvlakken met icosahedrale symmetrie. De polygonen aan de omtrek van deze projecties zijn regelmatige scheve tienhoeken.

orthogonale projecties van veelvlakken op 5-voudige Assen

dodecaëder

icosaëder

Icosidodecaëder

rhombisch triacontaëder

Petrie polygonen

de standaard scheve decagon is de Petrie veelhoek voor veel hoger-dimensionale polytopen, die in deze orthogonale projecties in verschillende coxetervlakken worden getoond: het aantal zijden in de Petrie veelhoek is gelijk aan het Coxetergetal, h, voor elke symmetriefamilie.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-kubus

Zie ook

• Decagonal aantal en gecentreerd decagonal aantal, figurate getallen gebaseerd op de decagon
• Decagram, een ster polygoon met dezelfde vertex positie als de reguliere decagon

• Weisstein, Eric W. “Decagon”. MathWorld.
• definitie en eigenschappen van een diagonaal met interactieve animatie