Decagon

denne artikkelen føre delen kan være for kort til å tilstrekkelig oppsummere de viktigste punktene. Vennligst vurder å utvide ledelsen for å gi en tilgjengelig oversikt over alle viktige aspekter av artikkelen. (Mai 2019)

Regular decagon

Type

regulær polygon

Kanter og hjørner

Schlä Symbol

{10}, t{5}

coxeter-Dynkin diagrammer

Symmetri gruppe

Dihedral (D10), rekkefølge 2×10

Intern vinkel (grader)

144°

Egenskaper

Konveks, syklisk, liksidig, isogonal, isotoksal

i geometri er en dekagon (fra gresk δέκα dé og γωνία, «ti vinkler») en ti-sidig polygon eller 10-gon. Den totale summen av de indre vinklene på en enkel dekagon er 1440°.

en selvkryssende regulær dekagon er kjent som et decagram.

Regulær decagon

en regulær decagon har alle sider av samme lengde og hver indre vinkel vil alltid være lik 144°. Schlä symbolet er {10} og kan også konstrueres som en avkortet femkant, t{5}, en kvasiregulær dekagon som veksler to typer kanter.

Område

området med en regulær decagon av sidelengde a er gitt av:

a = 5 2 a 2 cot ⁡ ( π 10 ) = 5 2 a 2 5 + 2 5 ≃ 7.694208843 a 2 {\displaystyle a={\frac {5}{2}}a^{2} \ cot \venstre ({\frac {\pi }{10}\høyre)={\frac {5} {2}} a^{2} {\sqrt {5}}}\simeq 7.694208843\, en^{2}}

når det gjelder apothem r (se også innskrevet figur), er området:

A = 10 tan ⁡ ( π 10) r 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle a = 10 \tan\venstre ({\frac {\pi }{10}}\høyre)r^{2}=2r^{2} {\sqrt {5\venstre(5-2 {\sqrt {5}}\høyre)}} \ simeq 3.249196962\, r^{2}}

når det gjelder circumradius R, er området:

a = 5 sin ⁡ ( π 5 ) r 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃ 2.938926261 R 2 {\displaystyle a=5 \ sin \ venstre ({\frac {\pi }{5}} \ høyre) r^{2} = {\frac {5}{2}}r^{2}{\sqrt {\frac {5 – {\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\, R^{2}}

en alternativ formel er a = 2,5 d a {\displaystyle a=2,5 da} hvor d er avstanden mellom parallelle sider, eller høyden når decagon står på den ene siden som base, eller diameteren til decagonens innskrevne sirkel. Ved enkel trigonometri,

d = 2 a ( cos ⁡ 3 π 10 + cos ⁡ π 10 ) , {\displaystyle d=2a\venstre(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}\høyre),}

og det kan skrives algebraisk som

d = a 5 + 2 5 . {\displaystyle d=a{\sqrt {5 + 2 {\sqrt {5}}}}.}

Sider

en regulær dekagon har 10 sider og er likesidet. Den har 35 diagonaler

Konstruksjon

Som 10 = 2 × 5, en kraft på to Ganger En Fermat prime, følger det at en vanlig decagon er konstruerbar ved hjelp av kompass og straightedge, eller ved en kant-biseksjon av en vanlig femkant.

en alternativ (men lignende) metode er som følger:

1. Konstruer en femkant i en sirkel ved en av metodene vist i å bygge en femkant.
2. Forleng en linje fra hvert toppunkt i pentagonen gjennom sirkelens senter til motsatt side av den samme sirkelen. Hvor hver linje kutter sirkelen er et toppunkt av decagon.
3. femkantens fem hjørner utgjør alternative hjørner av decagon. Bli med disse punktene til de tilstøtende nye poeng for å danne decagon.

ikke-Konveks regulær dekagon

lengden forholdet mellom to inequal kantene på en golden triangle er det gylne snitt, som er merket med Φ , {\displaystyle {\text{av }}\Phi {\tekst{,}}} eller dets multiplicative invers:

Φ − 1 = 1 Φ = 2 cos ⁡ 72 ∘ = 1 2 cos ⁡ 36 ∘ = 5 − 1 2 . {\displaystyle \ Phi -1={\frac {1} {\Phi }} = 2\, \ cos 72\,^{\circ } ={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} = {\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\tekst{.}}}

slik at vi kan få egenskapene til en vanlig decagonal stjerne, gjennom en flislegging av gyldne trekanter som fyller denne stjernepolygonen.

det gylne snitt i decagon

Både i konstruksjonen med gitt circumcircle samt med gitt sidelengde er det gylne snitt dele et linjesegment ved utvendig divisjon det bestemmende konstruksjonselement.

• i konstruksjonen med gitt circumcircle produserer sirkelbuen Rundt G MED radius GE3 segmentet AH, hvis divisjon tilsvarer det gyldne forholdet.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1.618 . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}} {\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}}}={\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ ca 1.618{\text{.}}}

• i konstruksjonen med gitt sidelengde produserer sirkelbuen Rundt D Med radius DA segmentet E10F, hvis divisjon tilsvarer det gyldne forholdet.

E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R a = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1.618 . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}e_{10}}} {\overline {E_{1}F}}={\frac {\overline {E_{10}F}} {\overline {E_{1}e_{10}}} = {\frac {R}{a}}={\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ ca 1.618{\text{.}}}

Symmetri

den vanlige dekagon har Dih10 symmetri, rekkefølge 20. Det er 3 undergrupper dihedralsymmetrier: Dih5, Dih2 og Dih1, og 4 sykliske gruppesymmetrier: Z10, Z5, Z2 Og Z1.

Disse 8 symmetrier kan ses i 10 forskjellige symmetrier på decagon, et større tall fordi refleksjonene kan enten passere gjennom hjørner eller kanter. John Conway etiketter disse ved et brev og gruppe rekkefølge. Full symmetri av den vanlige formen er r20 og ingen symmetri er merket a1. De dihedrale symmetrier er delt avhengig av om de passerer gjennom hjørner (d for diagonal) eller kanter (p for perpendiculars), og i når refleksjonslinjer går gjennom begge kanter og hjørner. Sykliske symmetrier i midtkolonnen er merket som g for deres sentrale gyrasjonsordrer.

hver undergruppesymmetri tillater en eller flere frihetsgrader for uregelmessige former. Bare g10-undergruppen har ingen frihetsgrader, men kan ses som rettede kanter.

den høyeste symmetrien irregulære dekagon er d10, en isogonal dekagon konstruert av fem speil som kan veksle mellom lange og korte kanter, og p10, en isotoksal dekagon, konstruert med like kantlengder, men hjørner veksler mellom to forskjellige indre vinkler. Disse to formene er dualer av hverandre og har halv symmetri rekkefølge av den vanlige decagon.

Disseksjon

10-kube projeksjon	40 rombe disseksjon

Coxeter sier at hver zonogon (en 2m-gon hvis motsatte sider er parallelle og like lange) kan dissekeres i m (m-1) / 2 parallelograms.In spesielt gjelder dette for vanlige polygoner med jevnt mange sider, i så fall er parallellogrammene alle rhombi. For den vanlige decagon, m=5, og den kan deles inn i 10 rhombs, med eksempler vist nedenfor. Denne dekomponeringen kan ses som 10 av 80 ansikter i Et Petrie-polygonprojeksjonsplan av 5-kuben. En disseksjon er basert på 10 av 30 ansikter av rhombic triacontahedron. Listen OEIS: A006245 definerer antall løsninger som 62, med 2 orienteringer for den første symmetriske formen og 10 orienteringer for den andre 6.

Vanlig dekagon dissekert til 10 rhombi

5-kube

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons

{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
en vanlig skew decagon er sett på som sikk-zagging kanter av en femkantet antiprism, en pentagrammic antiprism, og en pentagrammic krysset-antiprism.

en skrå dekagon er en skrå polygon med 10 hjørner og kanter, men ikke eksisterende på samme plan. Interiøret i en slik decagon er ikke generelt definert. En skrå sikk-sakk-dekagon har hjørner som veksler mellom to parallelle plan.

en vanlig skrå dekagon er vertex-transitiv med like kantlengder. I 3-dimensjoner vil det være en sikk-sakk skew decagon og kan sees i hjørnene og sidekantene av en femkantet antiprism, pentagrammic antiprism, og pentagrammic krysset-antiprism med samme D5d, symmetri, orden 20.

Disse kan også ses i disse 4 konvekse polyedrene med icosahedral symmetri. Polygonene på omkretsen av disse fremspringene er vanlige skrå decagons.

Ortogonale fremspring av polyeder på 5-fold akser

Dodekahedron

Icosahedron

Icosidodekahedron

Rhombisk triakontaeder

Petrie polygoner

den regulære skrå dekagon er Petrie polygon for mange høyere dimensjonale polytoper, vist i disse ortogonale projeksjoner i ulike Koxeter plan: antall sider I Petrie polygon er lik Koxeter tall, h, for hver symmetri familie.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-kube

Se også

• Dekagonalt tall og sentrert dekagonalt tall, figurantall modellert på dekagon
• Decagram, et stjernepolygon med samme toppunktposisjoner som det vanlige dekagon

• Weisstein, Eric W. «Decagon». MathWorld.
• Definisjon Og egenskaper for en dekagon med interaktiv animasjon