デカゴン

この記事の鉛セクションは十分に急所を要約するには余りにも短いかもしれない。記事のすべての重要な側面のアクセス可能な概要を提供するためにリードを拡大することを検討してくださ（月2019)

レギュラーデカゴン

正十角形

タイプ

正多角形

エッジと頂点

Schläfliシンボル

{10}, t{5}

コクセター-ディンキン図

対称群

二面体(D10)位2×10

内角(度)

144°

プロパティ

凸、環状、正三角形、等角、等角

幾何学において、十角形（ギリシャ語のδ θ α dékaおよびθ ω θ α gonía、”十角”から）は十面多角形または10角形である。単純な十角形の内角の合計は1440°です。

自己交差する正十角形は、十角形として知られています。

正十角形

正十角形はすべての辺の長さが等しく、各内角は常に144°に等しくなります。そのシュレーフリ記号は{10}であり、切り捨てられた五角形、t{5}、二つのタイプの辺を交互にする準正則十角形として構成することもできる。

面積

辺の長さaの正十角形の面積は次のように与えられます。

a=5 2a2cot λ(λ10)=5 2a2 5 + 2 5 ≃7.694208843a2{\displaystyle A={\frac{5}{2}}a^{2}\cot\left({\frac{\pi}{10}}\right)={\frac{5}{2}}a^{2}{\sqrt{5+2{\sqrt{5}}}}\simeq7.694208843a2{\displaystyle A={\frac{5}{2}}a^{2}\cot\left({\frac{5}{2}}a^{2}{\sqrt{5}}}\simeq7.694208843a2{\displaystyle A={\frac{5}{2}}a^{2}\694208843^{2}} $a={\frac{5}{2}}a^{2}\cot\left({\frac{\pi}{10}}\right)={\frac{5}{2}}a^{2}{\sqrt{5+2{\sqrt{5}}}}\simeq7.694208843\,a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,^{2}$

apothem rに関しては（内接する図も参照）、面積は次のとおりです。

a=10tan θ(√10)r2=2r2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r2{\displaystyle A=10\tan\left({\frac{\pi}{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt{5\left(5-2{\sqrt{5}}\right)}}\simeq3.249196962\,r^{2}} ${\私はA frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{249196962^{2}}$

円周率Rに関しては、面積は次のようになります。

a=5sin θ(√5)R2=5 2R2 5 − 5 2 ≃2.938926261R2{\displaystyle A=5\sin\left({\frac{\pi}{5}}\right)R^{2}={\frac{5}{2}}R^{2}{\sqrt{\frac{5-{\sqrt{\frac{5-{\sqrt{\frac{5}{2}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{5}}}{2}}}\2.938926261^{2}} ${\私はA frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}=\frac{{5}}}{2}}}\2.938926261^{2}}$

別の式はA=2.5d a{\displaystyle A=2.5da} $A=2.5d}である。5da$ ここで、dは平行辺間の距離、またはデカゴンがベースとして一方の側に立っているときの高さ、またはデカゴンの内接円の直径です。単純な三角法により、

d=2a(cos⁡3⁡10+cos⁡10),{\displaystyle d=2a\left(\cos{\tfrac{3\pi}{10}}+\cos{\tfrac{\pi}{10}}\right),}{\displaystyle d=2a\left(\cos{\tfrac{3\pi}{10}}+\cos{\tfrac{\pi}{10}}\right),}{\displaystyle d=2a\left(\cos{\tfrac{3\pi}{10}}+\cos{\tfrac{\pi}{10}}\right),}{\displaystyle d=2a\left(\cos{\tfrac{3\pi}{10}}+\cos{\tfrac{\pi}{10}}\right),}{\displaystyle d=2a\left(\cos{そして、それは代数的にd=a5+2 5と書くことができます。 {\displaystyle d=a{\sqrt{5+2{\sqrt{5}}}}。} $d=a{\sqrt{5+2{\sqrt{5}}}}。$

辺

正十角形は10辺を持ち、正三角形です。それは35個の対角線

構成

を持っています10=2×5、フェルマー素数の2倍のべき乗として、正の十角形はコンパスと直線を使って、または正の五角形の辺二等分によって構成可能であることになります。

デカゴンの建設

五角形の建設

別の（しかし同様の）方法は次のとおりです:

五角形の作成に示されている方法のいずれかによって、円の中に五角形を作成します。
五角形の各頂点から円の中心を通って同じ円の反対側まで線を伸ばします。それぞれの線が円を切るところは、十角形の頂点です。
五角形の5つの角は、十角形の別の角を構成しています。これらの点を隣接する新しい点に結合して、十角形を形成します。

ノンコンベックスレギュラーデカゴン

この金色の三角形によるタイルは、正の五角形であり、正の十角形のステレーションを含み、そのSchäfliシンボルは{10/3}である。

黄金の三角形の二つの不等式辺の長さ比は、Φ{\displaystyle{\text{by}}\Phi{\text}}で表される黄金比である。{,}}} ${\$ またはその乗法逆数：

Φ−1=1Φ=2cos≤72π=1 2cos≤36π=5−1 2。 {\displaystyle\Phi-1={\frac{1}{\Phi}}=2\,\cos72\,^{\circ}={\frac{1}{\Phi}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{1}{\,2\,\cos36\、cos{\circ}}}={\frac{\、{\sqrt{5}}-1\,}{2}}{\テキスト{。{\Displaystyle\Phi-1={\frac{1}{\Phi}}=2\,\cos72\,^{\circ}={\frac{1}{\Phi}}}{\frac{1}{\Phi}}}{\frac{1}{\Phi}}{\frac{1}{\Phi}}{\frac{1}{\Phi{1}{\,2\,\cos36\、cos{\circ}}}={\frac{\、{\sqrt{5}}-1\,}{2}}{\テキスト{。}}}

だから我々は、この星の多角形を埋める黄金の三角形によるタイルを介して、正規の十角形の星の特性を得ることができます。

十角形

の黄金比は、与えられた外接円と与えられた辺の長さの両方の建設における線分を外側の分割で分割する黄金比であり、決定する建設要素である。

与えられた外接円を持つ構成では、半径GE3のGの周りの円弧はセグメントAHを生成し、その分割は黄金比に対応します。

A M M H=A H A M=1+5 2=Φ≤1.618. {\displaystyle{\frac{\overline{AM}}{\overline{MH}}}={\frac{\overline{AH}}{\overline{AM}}}={\frac{1+{\sqrt{1+{\sqrt{1+{\sqrt{1+{\sqrt{1+{\sqrt{1+{\sqrt{1+{\sqrt{1+{2}}}}}}}}}}}}}}}{5}}}{2}}=\\1.618{\Displaystyle{\frac{\overline{AM}}{\overline{MH}}}={\frac{\OVERLINE{AH}}{\overline{AM}}}={\frac{1+{\sqrt{3559}}}}{\displaystyle{\frac{\overline{AM}}{\overline{MH}}}={\frac{1+{\sqrt{3559}}}}{\sqrt{3559}}}}{5}}}{2}}=\\1.618}}}

与えられた辺の長さを持つ構造では、半径DAを持つDの周りの円弧は、セグメントE10Fを生成し、その分割は黄金比に対応する。

E1E10E1F=E10F E1E10=R a=1+5 2=Φ≤1.618. {\displaystyle{\frac{\overline{E_{1}E_{10}}}{\overline{E_{1}F}}}={\frac{\overline{E_{10}F}}{\overline{E_{1}E_{10}}}}={\frac{R}{a}}={\frac{1+{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{5}}}{2}}=\\1.618E_{1}E_{10}}}={\frac{r}{a}}={\frac{1+{\sqrt{10}}}{\frac{1+{\sqrt{10}}}{\frac{1+{\sqrt{10}}}{\frac{1+{\sqrt{10}}}{\frac{1+{\sqrt{10}}}{\frac{1+{\sqrt{10}}}{\frac{1+{\sqrt{10}}}{\frac{1+{\sqrt{10}}}{\frac{1+{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}{5}}}{2}}=\\1.618{\ててててててててててて}}}

与えられた外接円を持つ十角形、アニメーション

指定された辺の長さを持つデカゴン、アニメーション

シンメトリー

通常のデカゴンの対称性。頂点は、その対称位置によって色付けされます。青色のミラーは頂点を介して描画され、紫色のミラーはエッジを介して描画されます。回転順序は中央に与えられます。

正十角形はDih10対称性を持ち、次数は20である。 3つのサブグループの二面体対称性：Dih5、Dih2、およびDih1、および4つの巡回群対称性：Z10、Z5、Z2、およびZ1がある。

これらの8つの対称性は、十角形上の10個の異なる対称性で見ることができますが、これは反射の線が頂点または辺を通過する可能性があるため、ジョン-コンウェイは、これらを手紙とグループの順序でラベリングします。正則形式の完全対称性はr20であり、対称性はa1とラベルされていません。二面体対称性は、頂点（対角の場合はd）または辺（垂線の場合はp）を通過するかどうかに応じて分割され、反射線が辺と頂点の両方を通過する場合はi。中央列の巡回対称性は，その中心回転次数に対してｇとラベル付けされている。

各部分群対称性は、不規則な形に対して一つ以上の自由度を可能にする。 G10部分群だけが自由度を持たないが、有向辺として見ることができる。

最も対称性の高い不規則な十角形は、長辺と短辺を交互にすることができる五つのミラーによって構成される等方十角形であるd10と、等方十角形であるp10である。これらの2つの形式は互いに双対であり、正十角形の対称次数の半分を持っています。

解剖

10-立方体投影	40菱形解剖

コクセターは、すべてのゾノゴン（反対側が平行で長さが等しい2m-gon）は、m(m-1)/2に解剖することができると述べているparallelograms.In 特に、これは均等に多くの辺を持つ正多角形に当てはまり、その場合、平行四辺形はすべて菱形です。正十角形の場合、m=5であり、10の菱形に分けることができ、以下に例を示す。この分解は、5-立方体のPetrie polygon投影面の80面のうち10面として見ることができます。解剖は、菱形三十八面体の10の30面に基づいています。リストOEIS: A006245では、解の数を62と定義し、最初の対称形式には2つの向き、他の6つには10の向きを指定します。

10菱形に解剖された正規の十角形
5-cube

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

規則的なスキュー十角形は、五角形の反プリズム、五角形の反プリズム、および五角形の交差反プリズムのジグザグエッジとして見られています。

スキューデカゴンは、10個の頂点とエッジを持つスキューポリゴンですが、同じ平面上には存在しません。このようなデカゴンの内部は一般的に定義されていません。スキュージグザグ十角形は、二つの平行な平面の間で交互に頂点を持っています。

正のスキュー十角形は、エッジの長さが等しい頂点推移的です。 3次元では、それはジグザグスキュー十角形になり、同じD5D、対称性、次数20の五角形の反プリズム、五角形の反プリズム、五角形の交差反プリズムの頂点と側縁に見ることができる。

これらは、二十面体対称性を持つこの4つの凸多面体にも見ることができます。これらの投影の周囲にあるポリゴンは、通常のスキューデカゴンです。

5倍軸の多面体の直交投影
十二面体	正十二面体	正十二面体	菱形三十八面体

Petrie polygons

正のスキュー十角形は、多くの高次元ポリトープのPetrie polygonsであり、さまざまなCoxeter平面におけるこれらの直交投影に示されています。Petrie polygonsの辺の数は、各対称族のCoxeter数hに等しいです。

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-キューブ

また、

十角数と中央の十角数、十角形をモデルにしたフィギュア数
十角形、通常の十角形と同じ頂点位置を持つ星の多角形も参照してください

^ a b Sidebotham,Thomas H.(2003),The A to Z of Mathematics:A Basic Guide,John Wiley&Sons,P.146,ISBN9780471461630.
^Wenninger,Magnus J.(1974),Polyhedron Models,Cambridge University Press,p.9,ISBN9780521098595.
^the elements of plane and spherical trigonometry,Society for Promoting Christian Knowledge,1850,p.59. このソースは、エッジの長さとしてaを使用し、余接の引数をラジアンではなく度単位の角度として指定することに注意してください。
^Ludlow,Henry H.(1904),円に刻まれた正十角形と五角形の幾何学的構造,The Open Court Publishing Co..
^a b Green,Henry(1861),Euclid’S Plane Geometry,Books III–VI,Actually Applied,or Gradations in Euclid,Part II,London:Simpkin,Marshall,&CO.、p.116。取得10February2016.
^a b Köller,Jürgen(2005),Regular decagon,→3rd Section”Formula,page aが与えられる。..”（ドイツ語で）。取得10February2016.
^John H.Conway,Heidi Burgiel,Chaim Goodman-Strauss,(2008)The Symmetries of Things,ISBN978-1-56881-220-5(Chapter20,Generalized Schaefli symbols,Types of symmetry of a polygon pp.275-278)
^Coxeter,Mathematical recreations and Essays,第十三版,p.141
^coxeter,Regular Polytopes,12.4Petrie Polygon,Pp.223-226.

ヴァイスシュタイン、エリック-W-“デカゴン”。 MathWorld.
インタラクティブアニメーションを使用したデカゴンの定義とプロパティ

正十角形

面積

辺

構成

ノンコンベックスレギュラーデカゴン

十角形

シンメトリー

解剖

Skew decagon

Petrie polygons

また、

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