Decagon

secțiunea de plumb din acest articol poate fi prea scurtă pentru a rezuma în mod adecvat punctele cheie. Vă rugăm să luați în considerare extinderea lead pentru a oferi o imagine de ansamblu accesibilă a tuturor aspectelor importante ale articolului. (Mai 2019)

decagon regulat

un decagon regulat

Tip

poligon regulat

margini și vârfuri

simbol Schl

{10}, t{5}

diagrame Coxeter-Dynkin

grup de simetrie

diedru (D10), ordin 2×10

unghi intern (grade)

144°

proprietăți

Convex, ciclic, echilateral, izogonal, izotoxal

în geometrie, un decagon (de la grecescul: „zece unghiuri”) este un poligon cu zece fețe sau 10-gon. Suma totală a unghiurilor interioare ale unui decagon simplu este de 1440 sec.

un decagon regulat auto-intersectat este cunoscut sub numele de decagramă.

decagon Regular

un decagon regular are toate laturile de lungime egală și fiecare unghi intern va fi întotdeauna egal cu 144 inqut. Simbolul său Schl Xvfli este {10} și poate fi, de asemenea, construit ca un pentagon trunchiat, t{5}, un decagon cvasiregular alternând două tipuri de margini.

arie

aria unui decagon regulat cu lungimea laturii a este dată de:

a = 5 2 a 2 pătuțuri de copii de copii de copii de copii de copii de copii de copii de copii de copii de copii de copii de copii de copii de copii de copii de copii de copii de 2 5 + 2 5 7.694208843 a 2 {\displaystyle a = {\frac {5}{2}}a^{2} \ cot \ stânga ({\frac {\pi }{10}} \ dreapta) = {\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\, a^{2}} $a = {\frac {5}{2}}a^{2} \ cot \ stânga ({\frac {\pi }{10}} \ dreapta)={\frac {5}{2}}a^{2} {\sqrt {5 + 2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}$

în ceea ce privește apotema r (A se vedea, de asemenea, figura înscrisă), zona este:

a = 10 tan XV (0) R 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle A = 10 \tan \ stânga ({\frac {\pi }{10}}\dreapta)r ^ {2} = 2r^{2} {\sqrt {5 \ stânga(5-2 {\sqrt {5}} \ dreapta)}} \ simeq 3.249196962\, r^{2}} $A = 10 \tan \ stânga ({\frac {\pi }{10}}\dreapta)r^{2}=2R^{2}{\sqrt {5\stânga (5-2{\sqrt {5}}\dreapta)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}$

În ceea ce privește circumscrisa R, zona este:

A = 5 sin ⁡ ( π 5 ) R 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃ 2.938926261 R 2 {\displaystyle O=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}} $O=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}$

O alternativă formula este A = 2.5 d o {\displaystyle O=2.5 da} $A=2.5DA$ unde d este distanța dintre laturile paralele sau înălțimea când decagonul stă pe o parte ca bază sau diametrul cercului inscripționat al decagonului. Prin trigonometrie simplă,

d = 2 a ( cos-ul 3-ul 10 + cos-ul 10 ) , {\displaystyle d=2a\stânga(\cos-ul {\tfrac-ul 3\pi} {10}}+\cos-ul {\tfrac-ul {\pi} {10}}\dreapta),} ${\displaystyle-ul D=2a-stânga (\cos-ul {\tfrac-ul 3\pi} {10}}+\cos-ul {\pi} {10}} \dreapta),}$

și poate fi scris algebric ca

d = a 5 + 2 5 . {\displaystyle d = a {\sqrt {5 + 2 {\sqrt {5}}}}.}

$d = a {\sqrt {5 + 2{\sqrt {5}}}}.$

laturi

un decagon regulat are 10 laturi și este echilateral. Are 35 diagonale

construcție

la fel de 10 = 2 5, o putere de două ori un prim Fermat, rezultă că un decagon obișnuit este construibil folosind busola și linia dreaptă sau printr-o bisecție de margine a unui pentagon obișnuit.

construcția decagon

construcția Pentagonului

o metodă alternativă (dar similară) este următoarea:

construiți un pentagon într-un cerc prin una dintre metodele prezentate în construirea unui pentagon.
extindeți o linie de la fiecare vârf al Pentagonului prin centrul cercului spre partea opusă a aceluiași cerc. Unde fiecare linie taie cercul este un vârf al decagonului.
cele cinci colțuri ale Pentagonului constituie colțuri alternative ale decagonului. Alăturați-vă acestor puncte la punctele noi adiacente pentru a forma decagonul.

decagon regulat Nonconvex

această placare cu triunghiuri de aur, un pentagon obișnuit, conține o stelare de decagon regulat, al cărui simbol Sch Inktiffli este {10/3}.

lungimea raport de două inegala marginile de un triunghi de aur este raportul de aur, notată cu Φ , {\displaystyle {\text{de }}\Phi {\text{,}}} ${\text{de }}\Phi {\text{,}}$ sau invers multiplicativ:

Φ − 1 = 1 Φ = 2 cos ⁡ 72 ∘ = 1 2 cos ⁡ 36 ∘ = 5 − 1 2 . {\displaystyle \ Phi -1 = {\frac {1} {\Phi }} = 2\, \ cos 72\,^{\circ } = {\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} = {\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.}}} $\ Phi -1 = {\frac {1} {\Phi }} = 2\, \ cos 72\,^{\circ } = {\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} = {\frac {\, {\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.}}$

deci, putem obține proprietățile unei stele decagonale regulate, printr-o placă de triunghiuri aurii care umple acest poligon stelar.

raportul auriu în decagon

atât în construcția cu circumcerc dat, cât și cu lungimea laterală dată este raportul auriu care împarte un segment de linie prin diviziunea exterioară elementul de construcție determinant.

în construcția cu circumcerc dat arcul circular în jurul G cu raza GE3 produce segmentul AH, a cărui diviziune corespunde raportului auriu.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = 1.618 . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}} {\overline {MH}}} = {\frac {\overline {AH}} {\overline {am}}} = {\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ aprox 1.618 {\text{.}}} ${\frac {\overline {AM}} {\overline {MH}}} = {\frac {\overline {AH}} {\overline {am}}} = {\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ aprox 1.618 {\text{.}}$

în construcția cu lungimea laterală dată arcul circular în jurul D cu raza DA produce segmentul e10f, a cărui diviziune corespunde raportului auriu.

E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R A = 1 + 5 2 = 1.618 . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}e_{10}}} {\overline {e_{1}F}} = {\frac {\overline {e_{10}F}} {\overline {e_{1}e_{10}}}={\frac {R}{a}} = {\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ aprox 1.618 {\text{.}}}

${\overline {\overline {E_{1} e_ {10}}} {\overline {e_ {1} F}} = {\overline {e_ {10} F}} {\overline {e_{1} e_ {10}}}={\frac {r} {a}} = {\frac {1 + {\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ approachx 1.618 {\Te Te}}}$

Decagon cu circumcirc dat, animație

Decagon cu o lungime laterală dată, animație

simetrie

simetriile unui decagon regulat. Vârfurile sunt colorate prin pozițiile lor de simetrie. Oglinzile albastre sunt desenate prin vârfuri, iar oglinzile purpurii sunt desenate prin margini. Ordinele de girație sunt date în centru.

decagonul obișnuit are simetrie Dih10, ordinul 20. Există 3 simetrii diedrice de subgrup: Dih5, Dih2 și Dih1 și 4 simetrii de grup ciclic: Z10, Z5, Z2 și Z1.

aceste 8 simetrii pot fi văzute în 10 simetrii distincte pe decagon, un număr mai mare, deoarece liniile de reflexii pot trece fie prin vârfuri, fie prin margini. John Conway le etichetează printr-o scrisoare și o comandă de grup. Simetria completă a formei regulate este r20 și nicio simetrie nu este etichetată a1. Simetriile diedrice sunt împărțite în funcție de faptul dacă trec prin vârfuri (d pentru diagonală) sau margini (p pentru perpendiculare) și i când liniile de reflecție parcurg atât marginile, cât și vârfurile. Simetriile ciclice din coloana din mijloc sunt etichetate ca g pentru ordinele lor de girație centrală.

fiecare simetrie a subgrupului permite unul sau mai multe grade de libertate pentru formele neregulate. Numai subgrupul g10 nu are grade de libertate, dar poate fi văzut ca margini direcționate.

decagoanele neregulate cu cea mai mare simetrie sunt d10, un decagon izogonal Construit din cinci oglinzi care pot alterna marginile lungi și scurte și p10, un decagon izotoxal, construit cu lungimi egale ale marginilor, dar vârfuri alternând două unghiuri interne diferite. Aceste două forme sunt duale între ele și au jumătate din ordinea de simetrie a decagonului regulat.

disecție

10-proiecție cub	40 romb disecție

Coxeter afirmă că fiecare zonogon (un 2M-gon ale cărui laturi opuse sunt paralele și de lungime egală) poate fi disecat în m (m-1) / 2 parallelograms.In special acest lucru este valabil pentru poligoane regulate cu multe laturi uniform, caz în care paralelogramele sunt toate rombi. Pentru decagonul obișnuit, m = 5 și poate fi împărțit în 10 romburi, cu exemple prezentate mai jos. Această descompunere poate fi văzută ca 10 din 80 de fețe într-un plan de proiecție a poligonului Petrie al cubului 5. O disecție se bazează pe 10 din 30 de fețe ale triacontaedrului rombic. Lista OEIS: A006245 definește numărul de soluții ca 62, cu 2 orientări pentru prima formă simetrică și 10 orientări pentru celelalte 6.

decagon regulat disecat în 10 rombi
5-cub

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

un decagon oblic regulat este văzut ca margini în zig-zag ale unui Antiprism pentagonal, a Antiprism pentagramic, și a Antiprism încrucișat pentagramic.

un decagon oblic este un poligon oblic cu 10 vârfuri și muchii, dar care nu există pe același plan. Interiorul unui astfel de decagon nu este în general definit. Un decagon oblic în zig – zag are vârfuri alternând între două planuri paralele.

un decagon oblic obișnuit este vertex-tranzitiv cu lungimi egale ale marginilor. În 3 dimensiuni va fi un decagon oblic în zig-zag și poate fi văzut în vârfurile și marginile laterale ale unui Antiprism pentagonal, Antiprism pentagramic și Antiprism încrucișat pentagramic cu același D5D, simetrie, ordinul 20.

acestea pot fi văzute și în aceste 4 poliedre convexe cu simetrie icosaedrică. Poligoanele de pe perimetrul acestor proiecții sunt decagoane oblice regulate.

proiecții ortogonale ale poliedrelor pe axe de 5 ori
dodecaedru	icosaedru	Icosidodecaedru	Triacontaedru rombic

poligoane Petrie

decagonul oblic obișnuit este poligonul Petrie pentru mulți politopi cu dimensiuni superioare, prezentat în aceste proiecții ortogonale în diferite planuri Coxeter: numărul laturilor din poligonul Petrie este egal cu numărul Coxeter, h, pentru fiecare familie de simetrie.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-cub

Vezi și

număr Decagonal și număr decagonal centrat, numere figurate modelate pe decagon
Decagram, un poligon stelar cu aceleași poziții de vârf ca decagon regulat

^ a B Sidebotham, Thomas H. (2003), A La Z de matematică: un ghid de bază, John Wiley & fii, p. 146, ISBN 9780471461630.
^ Wenninger, Magnus J. (1974), modele poliedrice, Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595.
^ elementele trigonometriei plane și sferice, Societatea pentru promovarea cunoașterii creștine, 1850, p. 59. Rețineți că această sursă folosește a ca lungime a marginii și oferă argumentul cotangentului ca unghi în grade, mai degrabă decât în radiani.
^ Ludlow, Henry H. (1904), construcția geometrică a Decagonului obișnuit și a Pentagonului înscrise într-un cerc, The Open Court Publishing Co..
^ A B Green, Henry (1861), geometria plană a lui Euclid, cărțile III–VI, practic aplicate sau gradații în Euclid, partea a II-a, Londra: Simpkin, Marshall, & CO., p. 116. Accesat La 10 Februarie 2016.
^ A B K Electicller, J Electocrgen (2005), decagon regulat, secțiunea a 3-a „formule, pagina a este dată…”(în Germană). Accesat La 10 Februarie 2016.
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) simetriile lucrurilor, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capitolul 20, simboluri Schaefli generalizate, tipuri de simetrie a unui poligon PP.275-278)
^ Coxeter, recreații și Eseuri matematice, ediția a treisprezecea, p.141
^ Coxeter, Politopi obișnuiți, poligonul 12.4 Petrie, PP. 223-226.

Weisstein, Eric W. „Decagon”. MathWorld.
definiția și proprietățile unui decagon cu animație interactivă