Decagon

a seção principal deste artigo pode ser muito curta para resumir adequadamente os pontos-chave. Considere expandir o lead para fornecer uma visão geral acessível de todos os aspectos importantes do artigo. (Maio 2019)

Decagon Regular

regular decagon

Tipo

polígono Regular

Arestas e vértices

Schläfli símbolo

{10}, t{5}

Coxeter–diagramas de Dynkin

grupo de Simetria

Diedro (D10), a fim 2×10

ângulo Interno (graus)

144°

Propriedades de

Convexo, cíclica, equilátero, isogonal, isotoxal

Em geometria, um decagon (do grego δέκα déka e γωνία gonía, “dez ângulos”) é um de dez lados do polígono ou 10-gon. A soma total dos ângulos internos de um simples decagon é de 1440°.

um decagão regular auto-cruzado é conhecido como um decagrama.

decagon Regular

um decagon regular tem todos os lados de igual comprimento e cada ângulo interno será sempre igual a 144°. Seu símbolo Schläfli é {10} e também pode ser construído como um pentágono truncado, t{5}, um decagon quasiregular alternando dois tipos de arestas.

Área

A área de um regular decagon do comprimento do lado a é dado por:

A = 5 2 2 berço ⁡ ( π 10 ) = 5 2 2 5 + 2 5 ≃ 7.694208843 2 {\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\berço \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,um^{2}} $A={\frac {5}{2}}a^{2}\berço \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,um^{2}$

Em termos de apótema r (ver também inscrito figura), a área é:

A = 10 tan ⁡ ( π 10 ) r 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}} $A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}$

Em termos de circum_raio R, a área é:

A = 5 sin ⁡ ( π 5 ) R 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃ 2.938926261 R 2 {\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}} $A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}$

Uma alternativa fórmula é A = 2,5 d uma {\displaystyle A=2.5 da} $A=2.5da$ , onde d é a distância entre os lados paralelos, ou a altura quando o decagon fica em um lado, como base, ou o diâmetro da decagon do círculo inscrito. Pela trigonometria simples,

d = 2 ( cos ⁡ 3 π 10 + cos ⁡ π 10 ) , {\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),} $d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),$

e pode ser escrito algebraically como

d = 5 + 2 5 . {\displaystyle d = a {\sqrt {5 + 2 {\sqrt {5}}}}.} $d = a {\sqrt {5 + 2 {\sqrt {5}}}}.$

lados

um decagon regular tem 10 lados e é equilátero. Tem 35 diagonais

Construção

como 10 = 2 × 5, uma potência de duas vezes um Fermat prime, segue-se que um decagon regular é construtível usando bússola e régua, ou por uma bissecção de borda de um pentágono regular.

Construção de decagon

a Construção do pentágono

Uma alternativa (mas semelhantes) método é o seguinte:

Construa um pentágono em um círculo por um dos métodos mostrados na construção de um pentágono.
estenda uma linha de cada vértice do Pentágono através do centro do círculo até o lado oposto desse mesmo círculo. Onde cada linha corta o círculo é um vértice do decagon.
os cinco cantos do Pentágono constituem cantos alternativos do decagão. Junte esses pontos aos novos pontos adjacentes para formar o decagon.

Nonconvex regular decagon

Este ladrilhos por triângulos dourados, um pentágono regular, contém um stellation de regular decagon, o Schäfli símbolo do que é {10/3}.

O comprimento proporção de dois sejam desiguais arestas de um triângulo de ouro é a razão áurea, denotado por Φ , {\displaystyle {\text{por }}\Phi {\texto{,}}} ${\text{por }}\Phi {\text{,}}$ ou o seu inverso multiplicativo:

Φ − 1 = 1 Φ = 2 cos ⁡ 72 ∘ = 1 2 cos ⁡ 36 ∘ = 5 − 1 2 . {\displaystyle \Phi -1={\frac {1}{\Phi }}=2\,\cos 72\,^{\circ }={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}}={\frac {\,{\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\texto{.}}} $\Phi -1={\frac {1}{\Phi }}=2\,\cos 72\,^{\circ }={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}}={\frac {\,{\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\texto{.}}$

para que possamos obter as propriedades de uma estrela decagonal regular, através de um ladrilho por triângulos dourados que preenchem esse polígono estelar.

a proporção áurea em decagon

tanto na construção com circuncircle dado como com comprimento lateral dado é a proporção áurea dividindo um segmento de linha por divisão exterior o elemento de construção determinante.

na construção com circuncisão dada, o arco circular em torno de G com raio GE3 produz o segmento AH, cuja divisão corresponde à proporção áurea.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618 . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}} ${\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}$

na construção com determinado comprimento lateral, o arco circular em torno de D com raio da produz o segmento e10f, cuja divisão corresponde à proporção áurea.

E 1 e 10 e 1 F = E 10 F E 1 E 10 = r a = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618 . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}} ${\overline {\overline {E_{1} E_ {10}}} {\overline {E_ {1} F}}}={\overline {E_ {10} F}} {\overline {E_{1} E_ {10}}}}={\frac {r} {a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ approachx 1.618 {\Te Te}}}$

Decagon com dado circuncentro, animação

Decagon com um determinado comprimento do lado, animação

Simetria

Simetrias de um regular decagon. Os vértices são coloridos por suas posições de simetria. Espelhos azuis são desenhados através de vértices, e espelhos roxos são desenhados através de bordas. As ordens de giro são dadas no centro.

o decagon regular tem simetria Dih10, ordem 20. Existem 3 simetrias diédricas do subgrupo: Dih5, Dih2 e Dih1 e 4 simetrias do grupo cíclico: Z10, Z5, Z2 e Z1.

essas 8 simetrias podem ser vistas em 10 simetrias distintas no decagon, um número maior porque as linhas de reflexos podem passar por vértices ou arestas. John Conway os rotula por uma carta e ordem de grupo. A simetria total da forma regular é r20 e nenhuma simetria é rotulada como a1. As simetrias diédricas são divididas dependendo se passam por vértices (d para diagonal) ou arestas (p para perpendiculares), e eu quando as linhas de reflexão percorrem as arestas e vértices. Simetrias cíclicas na coluna do meio são rotuladas como g para suas ordens de giro central.

cada simetria de subgrupo permite um ou mais graus de liberdade para formas irregulares. Apenas o subgrupo g10 não tem graus de liberdade, mas pode ser visto como bordas direcionadas.

os decágonos irregulares de maior simetria são d10, um decagon isogonal construído por cinco espelhos que podem alternar arestas longas e curtas, e p10, um decagon isotoxal, construído com comprimentos de arestas iguais, mas vértices alternando dois ângulos internos diferentes. Essas duas formas são duais uma da outra e têm metade da ordem de simetria do decágono regular.

dissecção

10-projeção do cubo	dissecção de 40 losangos

Coxeter afirma que todos os zonogon (a 2m-gon cujos lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento) pode ser dissecada em m(m-1)/2 paralelogramos.Em particular, isto é verdadeiro para os polígonos regulares com uniforme de muitos lados, caso em que os paralelogramos são todos rhombi. Para o decagon regular, m=5, e pode ser dividido em 10 rhombs, com exemplos mostrados abaixo. Essa decomposição pode ser vista como 10 de 80 faces em um plano de projeção de polígono de Petrie do cubo 5. Uma dissecção é baseada em 10 das 30 faces do triacontaedro rômbico. A lista OEIS: A006245 define o número de soluções como 62, com 2 orientações para a primeira forma simétrica e 10 orientações para a outra 6.

Decagon Regular dissecado em 10 losangos
5-cube

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

um decagon de inclinação regular é visto como bordas zig-zagging de um antiprismo pentagonal, um antiprismo pentagrammico e um antiprismo cruzado pentagrammico.

um decagon inclinado é um polígono inclinado com 10 vértices e arestas, mas não existe no mesmo plano. O interior de tal decagon não é geralmente definido. Um decágono em zigue-zague inclinado tem vértices alternando entre dois planos paralelos.

um decagon de inclinação regular é vertex-transitivo com comprimentos de borda iguais. Em 3-dimensões será um ziguezague de inclinação decagon e pode ser visto no vértices e arestas laterais de um prisma pentagonal antiprism, pentagrammic antiprism, e pentagrammic cruzou-antiprism com o mesmo D5d, simetria, ordem de 20.

estes também podem ser vistos nestes 4 poliedros convexos com simetria icosaédrica. Os polígonos no perímetro dessas projeções são decágonos inclinados regulares.

projeções ortogonais de poliedros em eixos 5 vezes
Dodecaedro	Icosaedro	Icosidodecaedro	Rhombic triacontahedron

Petrie polígonos

regular inclinação decagon é o Petrie polígono para muitos de dimensão superior polytopes, mostra essas projeções ortogonais em vários Coxeter planos: O número de lados do Petrie polígono é igual ao número de Coxeter, h, para cada simetria família.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-cubo

Ver também

Decagonal número e centrado decagonal número, figurate números inspirado no decagon
Decagram, uma estrela de polígonos com o mesmo vértice posições como regular decagon

^ a b Sidebotham, Thomas H. (2003), A a Z da Matemática: Um Guia Básico, John Wiley & Filhos, p. 146, ISBN 9780471461630.
^ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595.
^ os elementos da trigonometria plana e esférica, sociedade para promover o conhecimento Cristão, 1850, p. 59. Observe que esta fonte usa a como o comprimento da borda e fornece o argumento do cotangente como um ângulo em graus e não EM radianos.
^ Ludlow, Henry H. (1904), construção geométrica do Decagão Regular e Pentágono inscrito em um círculo, The Open Court Publishing Co..
^ uma b Verde, Henry (1861), Geometria Plana de Euclides, livros III-VI, praticamente aplicados ou gradações em Euclides, Parte II, Londres: Simpkin, Marshall, & CO., p. 116. Consultado Em 10 De Fevereiro De 2016.
^ A B Köller, Jürgen (2005), Decagon Regular, → 3ª Seção “fórmulas, página A é dada…”(em alemão). Consultado Em 10 De Fevereiro De 2016.
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) As Simetrias de Coisas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Generalizada Schaefli símbolos, Tipos de simetria de um polígono pp. 275-278)
^ Coxeter, recreações Matemáticas e Ensaios, Décima terceira edição, p.141
^ Coxeter, Regular polytopes, 12.4 Petrie polígono, pp. 223-226.

Weisstein, Eric W. “Decagon”. MathWorld.
definição e propriedades de um decagon com animação interativa