Decagón

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Decagón regular

Un decágono regular

Tipo

Polígono regular

Aristas y vértices

Símbolo Schläfli

{10}, t{5}

Diagramas Coxeter-Dynkin

Grupo de simetría

Diedro (D10), orden 2×10

Ángulo interno (grados)

144°

Propiedades

Convexo, cíclico, equilátero, isogonal, isotoxal

En geometría, un decágono (del griego δέκα déka y γωνία gonía, «diez ángulos») es un polígono de diez lados o 10-gon. La suma total de los ángulos interiores de un decágono simple es de 1440°.

Un decágono regular auto-intersecante se conoce como decagrama.

Decágono regular

Un decágono regular tiene todos los lados de la misma longitud y cada ángulo interno siempre será igual a 144°. Su símbolo Schläfli es {10} y también se puede construir como un pentágono truncado, t{5}, un decágono cuasiregular que alterna dos tipos de aristas.

Área

El área de un decágono regular de longitud lateral a viene dada por:

A = 5 2 a 2 cot ⁡ (π 10) = 5 2 a 2 5 + 2 5 ≃ 7.694208843 a 2 {\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right) = {\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,un^{2}} $A={\frac {5}{2}}a^{2}\cuna \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,un^{2}$

En términos de la apotema r (ver también figura inscrita), el área es:

A = 10 tan ⁡ ( π 10 ) r 2 = r 2 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\derecho)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}} $A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}$

En términos de la circunradio R, el área es:

A = 5 sen ⁡ ( π 5 ) R 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃ 2.938926261 R 2 {\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}} $A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}$

Una alternativa es la formula A = 2,5 d un {\displaystyle A=2.5 da} ${\displaystyle=2.5da}$ donde d es la distancia entre lados paralelos, o la altura cuando el decágono se encuentra en un lado como base, o el diámetro del círculo inscrito del decágono. Por simple trigonometría,

d = 2 ( cos ⁡ 3 π 10 + cos ⁡ π 10 ) , {\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\derecho)} $d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\derecho)$

y puede ser escrita en forma algebraica como

d = 5 + 2 5 . {\displaystyle d = a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.} $d = a {\sqrt {5 + 2{\sqrt {5}}}}.$

Lados

Un decágono regular tiene 10 lados y es equilátero. Tiene 35 diagonales

Construcción

Como 10 = 2 × 5, una potencia de dos veces un primo de Fermat, se deduce que un decágono regular es construible usando compás y regla recta, o por una bisección de bordes de un pentágono regular.

la Construcción de decagon

la Construcción del pentágono

Una alternativa (pero similares) el método es el siguiente:

Construir un pentágono en un círculo por uno de los métodos mostrados en la construcción de un pentágono.
Extienda una línea desde cada vértice del pentágono a través del centro del círculo hasta el lado opuesto de ese mismo círculo. Donde cada línea corta el círculo es un vértice del decágono.
Las cinco esquinas del pentágono constituyen esquinas alternas del decágono. Une estos puntos a los nuevos puntos adyacentes para formar el decágono.

Decágono regular no convexo

Este mosaico de triángulos dorados, un pentágono regular, contiene una estelación de decágono regular, cuyo símbolo de Schäfli es {10/3}.

La relación de longitud de dos aristas desiguales de un triángulo dorado es la relación áurea, denotada por Φ, {\displaystyle {\text{by }} \ Phi {\text{,}}} ${\text{by }}\Phi {\text {,}}$ o su inverso multiplicativo:

Φ − 1 = 1 Φ = 2 cos ⁡ 72 = = 1 2 cos ⁡ 36 = = 5 − 1 2 . {\displaystyle \Phi -1={\frac {1}{\Phi }}=2\,\cos 72\,^{\circ }={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}}={\frac {\,{\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.}}} $\Phi -1={\frac {1}{\Phi }}=2\,\cos 72\,^{\circ }={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}}={\frac {\,{\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.}}$

Para que podamos obtener las propiedades de una estrella decagonal regular, a través de un mosaico de triángulos dorados que llena este polígono estelar.

La proporción áurea en decágono

Tanto en la construcción con circuncírculo dado como con una longitud de lado dada es la proporción áurea que divide un segmento de línea por la división exterior del elemento constructivo determinante.

En la construcción con circuncírculo dado, el arco circular alrededor de G con radio GE3 produce el segmento AH, cuya división corresponde a la proporción áurea.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618 . {\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \aprox 1.618{\text{.}}} ${\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \aprox 1.618{\text{.}}$

En la construcción con una longitud de lado dada, el arco circular alrededor de D con radio DA produce el segmento E10F, cuya división corresponde a la proporción áurea.

E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R a = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618 . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \aprox 1.618{\text{.}}} ${\overline {\overline {E_{1} E_ {10}}} {\overline {E_ {1} F}}}={\overline {E_ {10} F}} {\overline {E_{1} E_ {10}}}}={\frac {r} {a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \ approachx 1.618 {\Te Te}}}$

Decagon con la circunferencia circunscrita, de animación

Decagon con un lado de longitud, de animación

la Simetría

Simetrías de un regular decagon. Los vértices están coloreados por sus posiciones de simetría. Los espejos azules se dibujan a través de los vértices, y los espejos morados se dibujan a través de los bordes. Las órdenes de giro se dan en el centro.

El decágono regular tiene simetría Dih10, orden 20. Hay 3 simetrías diédricas de subgrupos: Dih5, Dih2 y Dih1, y 4 simetrías de grupos cíclicos: Z10, Z5, Z2 y Z1.

Estas 8 simetrías se pueden ver en 10 simetrías distintas en el decágono, un número mayor porque las líneas de reflejos pueden pasar a través de vértices o aristas. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. La simetría completa de la forma regular es r20 y ninguna simetría se etiqueta a1. Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices (d para diagonal) o aristas (p para perpendiculares), e i cuando las líneas de reflexión atraviesan ambas aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro central.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g10 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos.

Los decágonos irregulares de simetría más alta son d10, un decágono isogonal construido por cinco espejos que pueden alternar bordes largos y cortos, y p10, un decágono isotoxal, construido con longitudes de borde iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales una de la otra y tienen la mitad del orden de simetría del decágono regular.

Disección

10-proyección de cubo	disección de 40 rombos

Coxeter establece que cada zonogon (un 2m-gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m (m-1) / 2 parallelograms.In en particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el decágono regular, m = 5, y se puede dividir en 10 rombos, con ejemplos que se muestran a continuación. Esta descomposición se puede ver como 10 de 80 caras en un plano de proyección de polígono Petrie del cubo 5. Una disección se basa en 10 de 30 caras del triacontaedro rómbico. La lista OEIS: A006245 define el número de soluciones como 62, con 2 orientaciones para la primera forma simétrica, y 10 orientaciones para la otra 6.

Decágono regular disecado en 10 rombos
5 cubos

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

Un decágono oblicuo regular se ve como bordes zigzagueantes de un antiprisma pentagonal, un antiprisma pentagrama y un antiprisma cruzado pentagrama.

Un decágono oblicuo es un polígono oblicuo con 10 vértices y aristas pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal decágono no está generalmente definido. Un decágono sesgado en zig-zag tiene vértices alternando entre dos planos paralelos.

Un decágono oblicuo regular es transitivo de vértices con longitudes de borde iguales. En 3 dimensiones será un decágono sesgado en zig-zag y se puede ver en los vértices y bordes laterales de un antiprisma pentagonal, antiprisma pentagrama y antiprisma cruzado pentagrama con la misma D5d, simetría, orden 20.

Estos también se pueden ver en estos 4 poliedros convexos con simetría icosaédrica. Los polígonos en el perímetro de estas proyecciones son decágonos sesgados regulares.

Proyecciones ortogonales de poliedros en ejes de 5 pliegues
Dodecaedro	Icosaedro	Icosidodecaedro	triacontaedro rómbico

Polígonos de Petrie

El decágono regular sesgado es el polígono de Petrie para muchos politopos de dimensiones superiores, mostrado en estas proyecciones ortogonales en varios planos de Coxeter: El número de lados en el polígono de Petrie es igual al número de Coxeter, h, para cada familia de simetría.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5 cubos

Véase también

Número decagonal y número decagonal centrado, números figurados modelados en el decágono
Decagrama, un polígono estelar con la misma posición de vértice que el decágono regular

^ a b Sidebotham, Thomas H. (2003), The A to Z of Mathematics: A Basic Guide, John Wiley & Sons, p. 146, ISBN 9780471461630.
^ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595.
^ Los elementos de la trigonometría plana y esférica, Society for Promoting Christian Knowledge, 1850, p. 59. Tenga en cuenta que esta fuente utiliza a como la longitud del borde y da el argumento de la cotangente como un ángulo en grados en lugar de en radianes.
^ Ludlow, Henry H. (1904), Construcción geométrica del Decágono Regular y el Pentágono Inscritos en un Círculo, The Open Court Publishing Co..
^ a b Green, Henry (1861), Geometría plana de Euclides, Libros III-VI, Prácticamente Aplicados, o Gradaciones en Euclides, Parte II, Londres: Simpkin, Marshall,& CO., p. 116. Consultado el 10 de febrero de 2016.
^ a b Köller, Jürgen (2005), Decágono regular, → 3a Sección » Fórmulas, se da la página a…»(en alemán). Consultado el 10 de febrero de 2016.
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, símbolos Generalizados de Schaefli, Tipos de simetría de un polígono pp.275-278)
^ Coxeter, Recreaciones y ensayos matemáticos, Decimotercera edición, p. 141
^ Coxeter, politopos regulares, 12.4 Polígono Petrie, pp.223-226.

Weisstein, Eric W. «Decagon». MathWorld.
Definición y propiedades de un decágono Con animación interactiva