Décagon

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Décagon régulier

Un décagone régulier

Type

Polygone régulier

Arêtes et sommets

Symbole de Schläfli

{10}, l{5}

Diagrammes de Coxeter-Dynkin

Groupe de symétrie

Dièdre (D10), ordre 2×10

Angle interne (degrés)

144°

Propriétés

Convexe, cyclique, équilatéral, isogonal, isotoxal

En géométrie, un décagon (du grec δέκα déka et γωνία gonía, « dix angles ») est un polygone à dix côtés ou 10-gon. La somme totale des angles intérieurs d’un décagon simple est de 1440°.

Un décagon régulier auto-croisé est connu sous le nom de décagramme.

Décagone régulier

Un décagone régulier a tous les côtés de longueur égale et chaque angle interne sera toujours égal à 144°. Son symbole de Schläfli est {10} et peut également être construit comme un pentagone tronqué, t{5}, un décagone quasi-circulaire alternant deux types d’arêtes.

Aire

L’aire d’un décagone régulier de longueur de côté a est donnée par :

A = 5 2 a 2 cot ⁡(π 10) = 5 2 a 2 5 + 2 5 77.694208843 a 2 {\displaystyle A = {\frac{5}{2}} a^{2}\cot\gauche ({\frac{\pi}{10}}\ droite) = {\frac{5}{2}}a^{2}{\sqrt{5 +2{\sqrt{5}}}}\simeq 7.694208843\, d^{2}} ${\ displaystyle A = {\frac{5}{2}} a ^{2}\cot\gauche ({\frac{\pi}{10}}\ droite) = {\frac{5}{2}}a^{2}{\sqrt{5+2{\sqrt{5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}}$

En termes d’apothème r (voir aussi figure inscrite), l’aire est :

A = 10 tan ⁡(π 10) r 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle A = 10\tan\gauche({\frac{\pi}{10}}\ droite) r^{2} = 2r^{2}{\sqrt{5\gauche (5-2{\sqrt{5}}\ droite) }} \ simeq 3.249196962\, r^{2}} ${\ displaystyle A = 10\tan\left({\frac{\pi}{10}}\right) r^{2} = 2r^{2}{\sqrt{5\left(5-2 {\sqrt{5}}\right) }}\simeq 3.249196962\, l^{2}}$

En termes de circumradius R, l’aire est :

A = 5 sin ⁡(π 5) R 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ≃2.938926261 R 2 {\displaystyle A = 5\sin\ gauche ({\frac{\pi}{5}}\ droite) R ^{2} = {\frac{5}{2}} R^{2}{\sqrt{\frac{5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ simeq 2.938926261\, D^{2}} ${\ displaystyle A = 5\sin\left({\frac{\pi}{5}}\right) R^{2} = {\frac{5}{2}} R^{2} {\sqrt{\frac{5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ simeq 2.938926261\, D^{2}}$

Une formule alternative est A = 2,5 d a {\displaystyle A= 2,5da} $A=2.5da$ où d est la distance entre les côtés parallèles, ou la hauteur lorsque le décagon se tient d’un côté comme base, ou le diamètre du cercle inscrit du décagon. Par trigonométrie simple,

d = 2 a(cos ⁡ 3 π 10 + cos π π 10), {\displaystyle d = 2a\left(\cos{\tfrac{3\pi}{10}} +\cos{\tfrac{\pi}{10}}\right), } $d = 2a\left(\cos{\tfrac{3\pi}{10}} +\ cos {\tfrac{\pi}{10}}\right),$

et il peut être écrit algébriquement comme

d = a 5 + 2 5. {\displaystyle d= a{\sqrt{5+2 {\sqrt{5}}}}.} $d=a{\sqrt{5+2 {\sqrt{5}}}}.$

Côtés

Un décagone régulier a 10 côtés et est équilatéral. Il a 35 diagonales

De construction

Comme 10 = 2 × 5, soit une puissance de deux fois un nombre premier de Fermat, il s’ensuit qu’un décagone régulier est constructible à l’aide d’un compas et d’un redresseur, ou par une bisection d’arête d’un pentagone régulier.

Construction de décagon

Construction du pentagone

Une méthode alternative (mais similaire) est la suivante:

Construisez un pentagone en cercle par l’une des méthodes indiquées dans la construction d’un pentagone.
Prolongez une ligne de chaque sommet du pentagone à travers le centre du cercle jusqu’au côté opposé de ce même cercle. Où chaque ligne coupe le cercle est un sommet du décagone.
Les cinq coins du pentagone constituent des coins alternés du décagone. Joignez ces points aux nouveaux points adjacents pour former le décagone.

Décagon régulier non convexe

Ce carrelage par triangles dorés, un pentagone régulier, contient une stellation de décagone régulier, dont le symbole de Schäfli est {10/3}.

Le rapport de longueur de deux arêtes inéquitables d’un triangle d’or est le rapport d’or, noté Φ, {\displaystyle {\text{by}}\Phi{\text{,}}} ${\ displaystyle {\text{by}}\Phi{\text{,}}}$ ou son inverse multiplicatif:

Φ-1 = 1 Φ = 2 cos ⁡ 72 = = 1 2 cos 3 36 = = 5 – 1 2. {\displaystyle\Phi -1 = {\frac{1} {\Phi}} = 2\, \cos 72\, ^{\circ} = {\frac {1}{\,2\,\ cos 36\, ^{\circ}}} = {\frac{\,{\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\ texte {.}}} ${\displaystyle\Phi-1= {\frac{1} {\Phi}} = 2\, \cos 72\, ^{\circ} = {\frac {1}{\,2\,\ cos 36\, ^{\circ}}} = {\frac{\,{\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\ texte {.}}}$

Nous pouvons donc obtenir les propriétés d’une étoile décagonale régulière, à travers un carrelage par triangles dorés qui remplit ce polygone stellaire.

Le nombre d’or dans le décagone

À la fois dans la construction avec un cercle donné ainsi qu’avec une longueur de côté donnée est le nombre d’or divisant un segment de ligne par la division extérieure de l’élément de construction déterminant.

Dans la construction à cercle donné, l’arc de cercle autour de G de rayon GE3 produit le segment AH, dont la division correspond au nombre d’or.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618. {\displaystyle{\frac{\overline{AM}}{\overline{MH}}} = {\frac{\overline{AH}}{\overline{AM}}} = {\frac{1+{\sqrt {5}}}{2}}=\ Phi \environ 1,618 {\text {.}}} ${\displaystyle{\frac{\overline{AM}} {\overline{MH}}} = {\frac{\overline{AH}}{\overline{AM}}} = {\frac{1+{\sqrt {5}}}{2}}=\ Phi \environ 1,618 {\text {.}}}$

Dans la construction de longueur de côté donnée, l’arc de cercle autour de D de rayon DA produit le segment E10F, dont la division correspond au nombre d’or.

E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R a = 1 + 5 2 = Φ ≈ 1,618. {\displaystyle {\frac{\overline{E_{1} E_{10}}} {\overline{E_{1}F}}} = {\frac{\overline{E_{10}F}} {\overline{E_{1} E_{10}}}} = {\frac{R}{a}} = {\frac{1+{\sqrt {5}}}{2}}=\ Phi \environ 1,618 {\text {.}}} ${\overline{\overline{E_{1} E_{10}}} {\overline{E_{1}F}}} = {\overline{E_{10}F}} {\overline{E_{1} E_{10}}}} = {\frac{r}{a}} = {\frac{1+{\sqrt {5}}}{2}}=\ Phi \approachx 1.618 {\Te Te}}}$

Décagone avec un cercle donné, animation

Décagon avec une longueur de côté donnée, animation

Symétrie

Symétries d’un décagone régulier. Les sommets sont colorés par leurs positions de symétrie. Les miroirs bleus sont dessinés à travers les sommets et les miroirs violets sont dessinés à travers les bords. Les ordres de giration sont donnés au centre.

Le décagone régulier a une symétrie Dih10, d’ordre 20. Il existe 3 symétries diédriques de sous-groupes: Dih5, Dih2 et Dih1, et 4 symétries de groupes cycliques: Z10, Z5, Z2 et Z1.

Ces 8 symétries peuvent être vues en 10 symétries distinctes sur le décagone, un nombre plus important car les lignes de réflexions peuvent traverser des sommets ou des arêtes. John Conway les étiquette par une lettre et un ordre de groupe. La symétrie complète de la forme régulière est r20 et aucune symétrie n’est étiquetée a1. Les symétries dièdres sont divisées selon qu’elles passent par des sommets (d pour la diagonale) ou des arêtes (p pour les perpendiculaires), et i lorsque les lignes de réflexion traversent à la fois les arêtes et les sommets. Les symétries cycliques dans la colonne centrale sont étiquetées comme g pour leurs ordres de giration centrale.

Chaque symétrie de sous-groupe permet un ou plusieurs degrés de liberté pour les formes irrégulières. Seul le sous-groupe g10 n’a pas de degrés de liberté mais peut être vu comme des bords dirigés.

Les décagones irréguliers à symétrie la plus élevée sont d10, un décagonal isogonal construit par cinq miroirs qui peuvent alterner bords longs et courts, et p10, un décagon isotoxal, construit avec des longueurs de bords égales, mais des sommets alternant deux angles internes différents. Ces deux formes sont duales l’une de l’autre et ont la moitié de l’ordre de symétrie du décagone régulier.

Dissection

10- projection de cube	40 dissection de losanges

Coxeter affirme que chaque zonogon (un 2m-gon dont les côtés opposés sont parallèles et de longueur égale) peut être disséqué en m(m-1)/ 2 parallelograms.In cela est particulièrement vrai pour les polygones réguliers avec plusieurs côtés uniformément, auquel cas les parallélogrammes sont tous des losanges. Pour le décagone régulier, m = 5, et il peut être divisé en 10 losanges, avec des exemples illustrés ci-dessous. Cette décomposition peut être vue comme 10 des 80 faces dans un plan de projection du polygone de Petrie du cube 5. Une dissection est basée sur 10 des 30 faces du triacontaèdre rhombique. La liste OEIS: A006245 définit le nombre de solutions comme 62, avec 2 orientations pour la première forme symétrique, et 10 orientations pour les 6 autres.

Décagon régulier disséqué en 10 losanges
5-cube

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

Un décagon régulier incliné est vu comme les bords en zigzag d’un antiprisme pentagonal, d’un antiprisme pentagrammique et d’un antiprisme croisé pentagrammique.

Un décagone oblique est un polygone oblique avec 10 sommets et arêtes mais n’existant pas sur le même plan. L’intérieur d’un tel décagon n’est généralement pas défini. Un décagone en zigzag oblique a des sommets alternant entre deux plans parallèles.

Un décagonal régulier est vertex-transitif avec des longueurs d’arêtes égales. En 3 dimensions, il s’agira d’un décagonal en zigzag et peut être vu dans les sommets et les bords latéraux d’un antiprisme pentagonal, d’un antiprisme pentagrammique et d’un antiprisme croisé pentagrammique avec le même D5d, symétrie, ordre 20.

Ceux-ci peuvent également être vus dans ces 4 polyèdres convexes à symétrie icosaédrique. Les polygones sur le périmètre de ces projections sont des décagons asymétriques réguliers.

Projections orthogonales de polyèdres sur 5 axes
Dodécaèdre	Icosaèdre	Icosidodécaèdre	triacontaèdre rhombique

Polygones de Petrie

Le décagonal régulier est le polygone de Petrie pour de nombreux polytopes de dimension supérieure, représenté dans ces projections orthogonales dans divers plans de Coxeter : Le nombre de côtés dans le polygone de Petrie est égal au nombre de Coxeter, h, pour chaque famille de symétrie.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-cube

Voir aussi

Nombre décagonal et nombre décagonal centré, nombres figurés modélisés sur le décagon
Décagramme, un polygone en étoile avec les mêmes positions de sommet que le décagon régulier

^ la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie de la théorie.
^ Wenninger, Magnus J. (1974), Modèles de polyèdres, Cambridge University Press, p. 9, ISBN 9780521098595.
^ Les éléments de la trigonométrie plane et sphérique, Société pour la promotion de la Connaissance chrétienne, 1850, p. 59. Notez que cette source utilise a comme longueur d’arête et donne l’argument de la cotangente comme un angle en degrés plutôt qu’en radians.
^ Ludlow, Henry H. (1904), Construction géométrique du Décagone régulier et du Pentagone Inscrit dans un Cercle, The Open Court Publishing Co..
^a b Green, Henry (1861), Euclid’s Plane Geometry, Livres III-VI, Practically Applied, or Gradations in Euclid, Part II, Londres: Simpkin, Marshall, & CO., p. 116. Retrieved 10 February 2016.
^ A B Köller, Jürgen (2005), déclic régulier, → 3 .section « formules, la page a est donnée… »( in French). Retrieved 10 February 2016.
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) the Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)
^ Coxeter, mathematical recreations and essays, thirteenth Edition, p. 141
^ Coxeter, regular polytopes, 12.4 Petrie Polygon, pp. 223-226.

« Decagon ». MathWorld.
Définition et propriétés d’un décagon Avec animation interactive