Decagon

denne artikels hovedafsnit kan være for kort til at opsummere nøglepunkterne tilstrækkeligt. Overvej at udvide føringen for at give et tilgængeligt overblik over alle vigtige aspekter af artiklen. (Maj 2019)

regulær polygon

{10}, t{5}

symmetri gruppe

Dihedral (D10), rækkefølge 2×10

144°

konveks, cyklisk, ligesidet, isogonal, isotoksal

i geometri er en decagon (fra den græske length D. og lengthon, “ti vinkler”) en ti-sidet polygon eller 10-Gon. Den samlede sum af de indvendige vinkler af en simpel decagon er 1440 liter.

en selvskærende regelmæssig decagon er kendt som et decagram.

regelmæssig decagon

en regelmæssig decagon har alle sider af samme længde, og hver indre vinkel vil altid være lig med 144 liter. Dens Schl Kristfli-symbol er {10} og kan også konstrueres som en afkortet Femkant, t{5}, en kvasiregulær dekagon, der skifter to typer kanter.

Areal

arealet af en regelmæssig decagon med sidelængde A er givet ved:

A = 5 2 a 2 barneseng ( 10) = 5 2 a 2 5 + 2 5 ret 7.694208843 a 2 {\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2} \cot\left ({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{\frat {5+2 {\frat {5}}}} \ Simek 7.694208843\, a^{2}}

med hensyn til apotemet r (Se også indskrevet figur) er området:

A = 10 tan-lyster ( 10) r 2 = 2 r 2 5 ( 5 − 2 5 ) ≃ 3.249196962 r 2 {\displaystyle a=10 \ tan \ venstre ({\frac {\pi }{10}}\højre) r^{2}=2R^{2} {\kvm {5 \ venstre (5-2 {\kvm {5}} \ højre)}} \ Simek 3.249196962\, r^{2}}

med hensyn til circumradius R, området er:

A = 5 synd-Karr (Karr 5) R 2 = 5 2 R 2 5 − 5 2 ret 2.938926261 R 2 {\displaystyle a=5 \ sin \ venstre ({\frac {\pi} {5}} \ højre) R^{2}={\frac {5}{2}}R^{\frac {5 – {\frac {5}}}{2}}}\Simek 2.938926261\, R^{2}}

en alternativ formel er A = 2,5 d a {\displaystyle A=2,5 da} hvor d er afstanden mellem parallelle sider eller højden, når decagonen står på den ene side som base, eller diameteren af decagonens indskrevne cirkel. Ved simpel trigonometri,

d = 2 a ( cos-ret 3-ret 10 + cos-ret 10 ) , {\displaystyle d=2A\venstre(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\højre),}

og det kan skrives algebraisk som

d = a 5 + 2 5 . {\displaystyle d=a {\KVRT {5 + 2 {\KVRT {5}}}}.}

sider

en almindelig decagon har 10 sider og er ligesidet. Det har 35 diagonaler

konstruktion

som 10 = 2 liter 5, en effekt på to gange en Fermat prime, følger det, at en regelmæssig decagon kan konstrueres ved hjælp af kompas og straightedge eller ved en kant-halvering af en regelmæssig femkant.

konstruktion af decagon

opførelse af pentagon

en alternativ (men lignende) metode er som følger:

1. Konstruer en femkant i en cirkel ved hjælp af en af metoderne vist ved konstruktion af en femkant.
2. Forlæng en linje fra hvert hjørne af femkanten gennem midten af cirklen til den modsatte side af den samme cirkel. Hvor hver linje skærer cirklen er et toppunkt af decagon.
3. femkantens fem hjørner udgør alternative hjørner af decagon. Deltag i disse punkter til de tilstødende nye punkter for at danne decagon.

ikke-konveks regelmæssig decagon

denne flisebelægning med gyldne trekanter, en regelmæssig femkant, indeholder en stellation af regelmæssig decagon, hvis Schrorisfli-symbol er {10/3}.

længden forholdet mellem to inequal kanten af den gyldne trekant er det gyldne snit, mærket med Φ , {\displaystyle {\text{af }}\Phi {\text{,}}} eller dets multiplikativ invers:

Φ − 1 = 1 Φ = 2 cos ⁡ 72 ∘ = 1 2 cos ⁡ 36 ∘ = 5 − 1 2 . {\displaystyle \ Phi -1={\frac {1} {\Phi }}=2\, \ cos 72\,^{\circ } ={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}} ={\frac {\, { \ {5}}-1\,}{2}}{\ tekst{.}}}

så vi kan få egenskaberne af en regelmæssig decagonal stjerne gennem en flisebelægning af gyldne trekanter, der fylder denne stjernepolygon.

det gyldne forhold i decagon

både i konstruktionen med en given circumcircle såvel som med en given sidelængde er det gyldne forhold, der deler et linjesegment ved udvendig Opdeling det afgørende konstruktionselement.

• i konstruktionen med given circumcircle den cirkulære bue omkring G med radius GE3 producerer segmentet AH, hvis division svarer til det gyldne forhold.

A M M H = A H A M = 1 + 5 2 = 1.618 . {\displaystyle {\frac {\overline {am}} {\overline {MH}}} = {\frac {\overline {AH}} {\overline {AM}}}={\frac {1 + {5}}}{2}}=\ Phi \ ca. 1.618 {\tekst{.}}}

• i konstruktionen med given sidelængde producerer den cirkulære bue omkring D med radius DA segmentet E10F, hvis opdeling svarer til det gyldne forhold.

E 1 E 10 E 1 F = E 10 F E 1 E 10 = R A = 1 + 5 2 = 1.618 . {\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}} {\overline {E_{1}F}} = {\frac {\overline {E_{10}F}} {\overline {E_{1}e_{10}}} = {\frac {R}{A}}={\frac {1 + { \ {5}}}{2}}=\ Phi \ ca. 1.618 {\tekst{.}}}

Decagon med given circumcircle, animation

Decagon med en given sidelængde, animation

symmetri

symmetrier af en regelmæssig decagon. Hjørner er farvet af deres symmetripositioner. Blå spejle trækkes gennem hjørner, og lilla spejle trækkes gennem kanter. Gyration ordrer er givet i midten.

den regelmæssige decagon har Dih10 symmetri, rækkefølge 20. Der er 3 undergruppedihedrale symmetrier: Dih5, Dih2 og Dih1 og 4 cykliske gruppesymmetrier: S10, S5, S2 og S1.

disse 8 symmetrier kan ses i 10 forskellige symmetrier på decagon, et større antal, fordi refleksionslinjerne enten kan passere gennem hjørner eller kanter. John Congo mærker disse ved en brev-og gruppeordre. Fuld symmetri af den almindelige form er r20, og ingen symmetri er mærket A1. De dihedrale symmetrier er opdelt afhængigt af om de passerer gennem hjørner (d for diagonal) eller kanter (p for perpendikulærer), og jeg når refleksionslinjer sti gennem begge kanter og hjørner. Cykliske symmetrier i den midterste kolonne er mærket som g for deres centrale gyration ordrer.

hver undergruppesymmetri tillader en eller flere frihedsgrader for uregelmæssige former. Kun G10-undergruppen har ingen frihedsgrader, men kan ses som rettede kanter.

den højeste symmetri uregelmæssige decagoner er d10, en isogonal decagon Konstrueret af fem spejle, der kan skifte lange og korte kanter, og p10, en isotoksal decagon, konstrueret med lige kantlængder, men hjørner skiftevis to forskellige indre vinkler. Disse to former er dualer af hinanden og har halvdelen af symmetrirækkefølgen af den regelmæssige decagon.

dissektion

10-cube projektion	40 rhomb dissektion

2m-gon, hvis modsatte sider er parallelle og af samme længde) kan dissekeres i m (m-1) / 2 parallelograms.In især gælder dette for regelmæssige polygoner med jævnt mange sider, i hvilket tilfælde parallelogrammerne alle er rhombi. For den almindelige decagon, m=5, og den kan opdeles i 10 rhombs, med eksempler vist nedenfor. Denne nedbrydning kan ses som 10 af 80 ansigter i et Petrie polygonprojektionsplan af 5-terningen. En dissektion er baseret på 10 af 30 ansigter af den rhombiske triacontahedron. Listen OEIS: A006245 definerer antallet af løsninger som 62 med 2 orienteringer for den første symmetriske form og 10 orienteringer for den anden 6.

regelmæssig decagon dissekeret i 10 rhombi

5-terning

Skew decagon

3 regular skew zig-zag decagons

{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
en regelmæssig skæv dekagon ses som siksakende kanter af en femkantet antiprisme, en pentagrammisk antiprismeog en pentagrammisk krydset antiprisme.

en skæv decagon er en skæv polygon med 10 hjørner og kanter, men ikke eksisterende på samme plan. Det indre af en sådan decagon er ikke generelt defineret. En skæv siksak-decagon har hjørner, der skifter mellem to parallelle planer.

en regelmæssig skæv dekagon er toppunkt-transitiv med lige kantlængder. I 3-dimensioner vil det være en siksak skæv dekagon og kan ses i hjørnerne og sidekanterne af en femkantet antiprisme, pentagrammisk antiprisme og pentagrammisk krydset antiprisme med samme D5D, symmetri, rækkefølge 20.

disse kan også ses i disse 4 konvekse polyeder med icosahedral symmetri. Polygonerne på omkredsen af disse fremspring er regelmæssige skæve decagoner.

ortogonale fremspring af polyeder på 5-foldede akser

Dodecahedron

Icosahedron

Icosidodecahedron

Rhombic triacontahedron

Petrie-polygoner

den regelmæssige skæve dekagon er Petrie-polygonen for mange højere-dimensionelle polytoper, vist i disse ortogonale fremspring i forskellige Styretællerplaner: antallet af sider i Petrie-polygonen er lig med Styretællernummeret, h, for hver symmetrifamilie.

A9	D6		B5
9-simplex	411	131	5-orthoplex	5-terning

Se også

• Decagonal nummer og centreret decagonal nummer, figurnumre modelleret på decagon
• Decagram, en stjernepolygon med de samme toppunktpositioner som den almindelige decagon

• “Decagon”. Matematikverden.
• Definition og egenskaber af en decagon med interaktiv animation